Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49577 / 80495
↖ ↑ ↗
← S 37.959358°
W 43.832703°		 ← 240.81 m → S 37.959358°
W 43.829956°		 →
↑
240.76 m
↓
↑
240.76 m
↓
S 37.961523°
W 43.832703°		 ← 240.80 m →
57 977 m²		 S 37.961523°
W 43.829956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378246307373047 y=0.614131927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378246307373047 × 217)
    floor (0.378246307373047 × 131072)
    floor (49577.5)     		tx = 49577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614131927490234 × 217)
    floor (0.614131927490234 × 131072)
    floor (80495.5)     		ty = 80495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49577 / 80495 ti = "17/49577/80495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49577/80495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49577 ÷ 217
    49577 ÷ 131072     		x = 0.378242492675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80495 ÷ 217
    80495 ÷ 131072     		y = 0.614128112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378242492675781 × 2 - 1) × π
    -0.243515014648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.76502498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614128112792969 × 2 - 1) × π
    -0.228256225585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.71708808141642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76502498} λ = -0.76502498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.71708808141642))-π/2
    2×atan(0.488171704556083)-π/2
    2×0.454140275535052-π/2
    0.908280551070104-1.57079632675     		φ = -0.66251578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76502498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.832703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66251578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.959358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49577 KachelY 80495 -0.76502498 -0.66251578 -43.832703 -37.959358
    Oben rechts KachelX + 1 49578 KachelY 80495 -0.76497704 -0.66251578 -43.829956 -37.959358
    Unten links KachelX 49577 KachelY + 1 80496 -0.76502498 -0.66255357 -43.832703 -37.961523
    Unten rechts KachelX + 1 49578 KachelY + 1 80496 -0.76497704 -0.66255357 -43.829956 -37.961523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66251578--0.66255357) × R
    3.77900000000375e-05 × 6371000     		dl = 240.760090000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66251578--0.66255357) × R
    3.77900000000375e-05 × 6371000     		dr = 240.760090000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76502498--0.76497704) × cos(-0.66251578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788447266022635 × 6371000     		do = 240.812089675782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76502498--0.76497704) × cos(-0.66255357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788424020741612 × 6371000     		du = 240.804989968624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66251578)-sin(-0.66255357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788447266022635-0.788424020741612)×R²
    abs(-0.76497704--0.76502498)×2.32452810228212e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32452810228212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32452810228212e-05×40589641000000     		ar = 57977.0857272643m²