Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49574 / 50198
↖ ↑ ↗
← S 68.700496°
E 92.318115°		 ← 221.86 m → S 68.700496°
E 92.323608°		 →
↑
221.90 m
↓
↑
221.90 m
↓
S 68.702491°
E 92.318115°		 ← 221.84 m →
49 230 m²		 S 68.702491°
E 92.323608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756446838378906 y=0.765968322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756446838378906 × 216)
    floor (0.756446838378906 × 65536)
    floor (49574.5)     		tx = 49574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765968322753906 × 216)
    floor (0.765968322753906 × 65536)
    floor (50198.5)     		ty = 50198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49574 / 50198 ti = "16/49574/50198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49574/50198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49574 ÷ 216
    49574 ÷ 65536     		x = 0.756439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50198 ÷ 216
    50198 ÷ 65536     		y = 0.765960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756439208984375 × 2 - 1) × π
    0.51287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.61125507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765960693359375 × 2 - 1) × π
    -0.53192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67108032075516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61125507} λ = 1.61125507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67108032075516))-π/2
    2×atan(0.188043808238002)-π/2
    2×0.185873237484949-π/2
    0.371746474969898-1.57079632675     		φ = -1.19904985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61125507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.318115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19904985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.700496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49574 KachelY 50198 1.61125507 -1.19904985 92.318115 -68.700496
    Oben rechts KachelX + 1 49575 KachelY 50198 1.61135094 -1.19904985 92.323608 -68.700496
    Unten links KachelX 49574 KachelY + 1 50199 1.61125507 -1.19908468 92.318115 -68.702491
    Unten rechts KachelX + 1 49575 KachelY + 1 50199 1.61135094 -1.19908468 92.323608 -68.702491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19904985--1.19908468) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dl = 221.901929999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19904985--1.19908468) × R
    3.48299999999302e-05 × 6371000     		dr = 221.901929999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61125507-1.61135094) × cos(-1.19904985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363243167715393 × 6371000     		do = 221.864484376616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61125507-1.61135094) × cos(-1.19908468) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363210716580125 × 6371000     		du = 221.844663620072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19904985)-sin(-1.19908468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363243167715393-0.363210716580125)×R²
    abs(1.61135094-1.61125507)×3.24511352686185e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24511352686185e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24511352686185e-05×40589641000000     		ar = 49229.9581546213m²