Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49573 / 82782
↖ ↑ ↗
← S 42.742978°
W 43.843689°		 ← 224.31 m → S 42.742978°
W 43.840942°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
S 42.744995°
W 43.843689°		 ← 224.30 m →
50 302 m²		 S 42.744995°
W 43.840942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378215789794922 y=0.631580352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378215789794922 × 217)
    floor (0.378215789794922 × 131072)
    floor (49573.5)     		tx = 49573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631580352783203 × 217)
    floor (0.631580352783203 × 131072)
    floor (82782.5)     		ty = 82782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49573 / 82782 ti = "17/49573/82782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49573/82782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49573 ÷ 217
    49573 ÷ 131072     		x = 0.378211975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82782 ÷ 217
    82782 ÷ 131072     		y = 0.631576538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378211975097656 × 2 - 1) × π
    -0.243576049804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76521673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631576538085938 × 2 - 1) × π
    -0.263153076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.826719770847488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76521673} λ = -0.76521673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826719770847488))-π/2
    2×atan(0.437481976393696)-π/2
    2×0.412395313486726-π/2
    0.824790626973452-1.57079632675     		φ = -0.74600570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76521673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.843689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74600570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.742978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49573 KachelY 82782 -0.76521673 -0.74600570 -43.843689 -42.742978
    Oben rechts KachelX + 1 49574 KachelY 82782 -0.76516879 -0.74600570 -43.840942 -42.742978
    Unten links KachelX 49573 KachelY + 1 82783 -0.76521673 -0.74604090 -43.843689 -42.744995
    Unten rechts KachelX + 1 49574 KachelY + 1 82783 -0.76516879 -0.74604090 -43.840942 -42.744995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74600570--0.74604090) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dl = 224.259200000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74600570--0.74604090) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dr = 224.259200000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76521673--0.76516879) × cos(-0.74600570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734405694500642 × 6371000     		do = 224.306402702925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76521673--0.76516879) × cos(-0.74604090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.734381803427431 × 6371000     		du = 224.299105754211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74600570)-sin(-0.74604090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734405694500642-0.734381803427431)×R²
    abs(-0.76516879--0.76521673)×2.3891073211213e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3891073211213e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3891073211213e-05×40589641000000     		ar = 50301.956226473m²