Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49573 / 80476
↖ ↑ ↗
← S 37.918201°
W 43.843689°		 ← 240.95 m → S 37.918201°
W 43.840942°		 →
↑
240.89 m
↓
↑
240.89 m
↓
S 37.920368°
W 43.843689°		 ← 240.94 m →
58 040 m²		 S 37.920368°
W 43.840942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378215789794922 y=0.613986968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378215789794922 × 217)
    floor (0.378215789794922 × 131072)
    floor (49573.5)     		tx = 49573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613986968994141 × 217)
    floor (0.613986968994141 × 131072)
    floor (80476.5)     		ty = 80476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49573 / 80476 ti = "17/49573/80476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49573/80476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49573 ÷ 217
    49573 ÷ 131072     		x = 0.378211975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80476 ÷ 217
    80476 ÷ 131072     		y = 0.613983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378211975097656 × 2 - 1) × π
    -0.243576049804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76521673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.22796630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.716177280323639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76521673} λ = -0.76521673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.716177280323639))-π/2
    2×atan(0.488616534423071)-π/2
    2×0.454499435418858-π/2
    0.908998870837717-1.57079632675     		φ = -0.66179746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76521673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.843689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66179746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.918201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49573 KachelY 80476 -0.76521673 -0.66179746 -43.843689 -37.918201
    Oben rechts KachelX + 1 49574 KachelY 80476 -0.76516879 -0.66179746 -43.840942 -37.918201
    Unten links KachelX 49573 KachelY + 1 80477 -0.76521673 -0.66183527 -43.843689 -37.920368
    Unten rechts KachelX + 1 49574 KachelY + 1 80477 -0.76516879 -0.66183527 -43.840942 -37.920368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66179746--0.66183527) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dl = 240.887510000172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66179746--0.66183527) × R
    3.7810000000027e-05 × 6371000     		dr = 240.887510000172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76521673--0.76516879) × cos(-0.66179746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788888902896272 × 6371000     		do = 240.946976944724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76521673--0.76516879) × cos(-0.66183527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788865666732263 × 6371000     		du = 240.939880022137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66179746)-sin(-0.66183527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788888902896272-0.788865666732263)×R²
    abs(-0.76516879--0.76521673)×2.32361640086776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32361640086776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32361640086776e-05×40589641000000     		ar = 58040.2625450912m²