Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49573 / 58116
↖ ↑ ↗
← N 19.963023°
W 43.843689°		 ← 287.07 m → N 19.963023°
W 43.840942°		 →
↑
287.08 m
↓
↑
287.08 m
↓
N 19.960441°
W 43.843689°		 ← 287.08 m →
82 413 m²		 N 19.960441°
W 43.840942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378215789794922 y=0.443393707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378215789794922 × 217)
    floor (0.378215789794922 × 131072)
    floor (49573.5)     		tx = 49573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443393707275391 × 217)
    floor (0.443393707275391 × 131072)
    floor (58116.5)     		ty = 58116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49573 / 58116 ti = "17/49573/58116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49573/58116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49573 ÷ 217
    49573 ÷ 131072     		x = 0.378211975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58116 ÷ 217
    58116 ÷ 131072     		y = 0.443389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378211975097656 × 2 - 1) × π
    -0.243576049804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.76521673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443389892578125 × 2 - 1) × π
    0.11322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.355691795180817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76521673} λ = -0.76521673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355691795180817))-π/2
    2×atan(1.42716762053497)-π/2
    2×0.959608402781007-π/2
    1.91921680556201-1.57079632675     		φ = 0.34842048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76521673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.843689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34842048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.963023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49573 KachelY 58116 -0.76521673 0.34842048 -43.843689 19.963023
    Oben rechts KachelX + 1 49574 KachelY 58116 -0.76516879 0.34842048 -43.840942 19.963023
    Unten links KachelX 49573 KachelY + 1 58117 -0.76521673 0.34837542 -43.843689 19.960441
    Unten rechts KachelX + 1 49574 KachelY + 1 58117 -0.76516879 0.34837542 -43.840942 19.960441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34842048-0.34837542) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dl = 287.077259999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34842048-0.34837542) × R
    4.50599999999857e-05 × 6371000     		dr = 287.077259999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76521673--0.76516879) × cos(0.34842048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939913154754536 × 6371000     		do = 287.07367082645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76521673--0.76516879) × cos(0.34837542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939928537898152 × 6371000     		du = 287.078369234473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34842048)-sin(0.34837542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939913154754536-0.939928537898152)×R²
    abs(-0.76516879--0.76521673)×1.53831436159324e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53831436159324e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53831436159324e-05×40589641000000     		ar = 82412.9972559043m²