Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49569 / 80524
↖ ↑ ↗
← S 38.022131°
W 43.854676°		 ← 240.61 m → S 38.022131°
W 43.851929°		 →
↑
240.63 m
↓
↑
240.63 m
↓
S 38.024295°
W 43.854676°		 ← 240.60 m →
57 897 m²		 S 38.024295°
W 43.851929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378185272216797 y=0.614353179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378185272216797 × 217)
    floor (0.378185272216797 × 131072)
    floor (49569.5)     		tx = 49569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614353179931641 × 217)
    floor (0.614353179931641 × 131072)
    floor (80524.5)     		ty = 80524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49569 / 80524 ti = "17/49569/80524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49569/80524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49569 ÷ 217
    49569 ÷ 131072     		x = 0.378181457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80524 ÷ 217
    80524 ÷ 131072     		y = 0.614349365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378181457519531 × 2 - 1) × π
    -0.243637084960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.76540848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614349365234375 × 2 - 1) × π
    -0.22869873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.718478251505402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76540848} λ = -0.76540848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718478251505402))-π/2
    2×atan(0.487493534349308)-π/2
    2×0.453592471985841-π/2
    0.907184943971682-1.57079632675     		φ = -0.66361138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76540848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.854676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66361138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.022131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49569 KachelY 80524 -0.76540848 -0.66361138 -43.854676 -38.022131
    Oben rechts KachelX + 1 49570 KachelY 80524 -0.76536054 -0.66361138 -43.851929 -38.022131
    Unten links KachelX 49569 KachelY + 1 80525 -0.76540848 -0.66364915 -43.854676 -38.024295
    Unten rechts KachelX + 1 49570 KachelY + 1 80525 -0.76536054 -0.66364915 -43.851929 -38.024295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66361138--0.66364915) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dl = 240.632670000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66361138--0.66364915) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dr = 240.632670000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76540848--0.76536054) × cos(-0.66361138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787772886813818 × 6371000     		do = 240.606116906889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76540848--0.76536054) × cos(-0.66364915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787749621223281 × 6371000     		du = 240.599010996682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66361138)-sin(-0.66364915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787772886813818-0.787749621223281)×R²
    abs(-0.76536054--0.76540848)×2.32655905371137e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32655905371137e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32655905371137e-05×40589641000000     		ar = 57896.8373795324m²