Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49567 / 81823
↖ ↑ ↗
← S 40.778462°
W 43.860168°		 ← 231.28 m → S 40.778462°
W 43.857422°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
S 40.780542°
W 43.860168°		 ← 231.27 m →
53 487 m²		 S 40.780542°
W 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378170013427734 y=0.624263763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378170013427734 × 217)
    floor (0.378170013427734 × 131072)
    floor (49567.5)     		tx = 49567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624263763427734 × 217)
    floor (0.624263763427734 × 131072)
    floor (81823.5)     		ty = 81823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49567 / 81823 ti = "17/49567/81823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49567/81823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49567 ÷ 217
    49567 ÷ 131072     		x = 0.378166198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81823 ÷ 217
    81823 ÷ 131072     		y = 0.624259948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378166198730469 × 2 - 1) × π
    -0.243667602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.76550435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624259948730469 × 2 - 1) × π
    -0.248519897460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.780748284111855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76550435} λ = -0.76550435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780748284111855))-π/2
    2×atan(0.458063121675616)-π/2
    2×0.429538953639909-π/2
    0.859077907279818-1.57079632675     		φ = -0.71171842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76550435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.860168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71171842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.778462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49567 KachelY 81823 -0.76550435 -0.71171842 -43.860168 -40.778462
    Oben rechts KachelX + 1 49568 KachelY 81823 -0.76545641 -0.71171842 -43.857422 -40.778462
    Unten links KachelX 49567 KachelY + 1 81824 -0.76550435 -0.71175472 -43.860168 -40.780542
    Unten rechts KachelX + 1 49568 KachelY + 1 81824 -0.76545641 -0.71175472 -43.857422 -40.780542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71171842--0.71175472) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dl = 231.267299999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71171842--0.71175472) × R
    3.62999999999891e-05 × 6371000     		dr = 231.267299999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76550435--0.76545641) × cos(-0.71171842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757240632644357 × 6371000     		do = 231.280780583319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76550435--0.76545641) × cos(-0.71175472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.757216923308942 × 6371000     		du = 231.273539142005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71171842)-sin(-0.71175472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757240632644357-0.757216923308942)×R²
    abs(-0.76545641--0.76550435)×2.37093354148454e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37093354148454e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37093354148454e-05×40589641000000     		ar = 53486.8443189073m²