Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49567 / 80522
↖ ↑ ↗
← S 38.017804°
W 43.860168°		 ← 240.62 m → S 38.017804°
W 43.857422°		 →
↑
240.63 m
↓
↑
240.63 m
↓
S 38.019968°
W 43.860168°		 ← 240.61 m →
57 900 m²		 S 38.019968°
W 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378170013427734 y=0.614337921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378170013427734 × 217)
    floor (0.378170013427734 × 131072)
    floor (49567.5)     		tx = 49567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614337921142578 × 217)
    floor (0.614337921142578 × 131072)
    floor (80522.5)     		ty = 80522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49567 / 80522 ti = "17/49567/80522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49567/80522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49567 ÷ 217
    49567 ÷ 131072     		x = 0.378166198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80522 ÷ 217
    80522 ÷ 131072     		y = 0.614334106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378166198730469 × 2 - 1) × π
    -0.243667602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.76550435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614334106445312 × 2 - 1) × π
    -0.228668212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.718382377706162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76550435} λ = -0.76550435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718382377706162))-π/2
    2×atan(0.487540274447091)-π/2
    2×0.453630236490601-π/2
    0.907260472981201-1.57079632675     		φ = -0.66353585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76550435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.860168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66353585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.017804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49567 KachelY 80522 -0.76550435 -0.66353585 -43.860168 -38.017804
    Oben rechts KachelX + 1 49568 KachelY 80522 -0.76545641 -0.66353585 -43.857422 -38.017804
    Unten links KachelX 49567 KachelY + 1 80523 -0.76550435 -0.66357362 -43.860168 -38.019968
    Unten rechts KachelX + 1 49568 KachelY + 1 80523 -0.76545641 -0.66357362 -43.857422 -38.019968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66353585--0.66357362) × R
    3.7769999999937e-05 × 6371000     		dl = 240.632669999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66353585--0.66357362) × R
    3.7769999999937e-05 × 6371000     		dr = 240.632669999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76550435--0.76545641) × cos(-0.66353585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787819408464349 × 6371000     		do = 240.620325816428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76550435--0.76545641) × cos(-0.66357362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787796145121179 × 6371000     		du = 240.613220592626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66353585)-sin(-0.66357362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787819408464349-0.787796145121179)×R²
    abs(-0.76545641--0.76550435)×2.32633431704876e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32633431704876e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32633431704876e-05×40589641000000     		ar = 57900.2565897598m²