Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49566 / 50238
↖ ↑ ↗
← S 68.780168°
E 92.274170°		 ← 221.07 m → S 68.780168°
E 92.279663°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
S 68.782156°
E 92.274170°		 ← 221.05 m →
48 871 m²		 S 68.782156°
E 92.279663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756324768066406 y=0.766578674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756324768066406 × 216)
    floor (0.756324768066406 × 65536)
    floor (49566.5)     		tx = 49566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766578674316406 × 216)
    floor (0.766578674316406 × 65536)
    floor (50238.5)     		ty = 50238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49566 / 50238 ti = "16/49566/50238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49566/50238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49566 ÷ 216
    49566 ÷ 65536     		x = 0.756317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50238 ÷ 216
    50238 ÷ 65536     		y = 0.766571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756317138671875 × 2 - 1) × π
    0.51263427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.61048808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766571044921875 × 2 - 1) × π
    -0.53314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67491527272476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61048808} λ = 1.61048808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67491527272476))-π/2
    2×atan(0.187324050265969)-π/2
    2×0.185177970497375-π/2
    0.370355940994749-1.57079632675     		φ = -1.20044039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61048808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.274170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20044039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.780168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49566 KachelY 50238 1.61048808 -1.20044039 92.274170 -68.780168
    Oben rechts KachelX + 1 49567 KachelY 50238 1.61058395 -1.20044039 92.279663 -68.780168
    Unten links KachelX 49566 KachelY + 1 50239 1.61048808 -1.20047509 92.274170 -68.782156
    Unten rechts KachelX + 1 49567 KachelY + 1 50239 1.61058395 -1.20047509 92.279663 -68.782156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20044039--1.20047509) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dl = 221.073700000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20044039--1.20047509) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dr = 221.073700000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61048808-1.61058395) × cos(-1.20044039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361947258658434 × 6371000     		do = 221.072958973593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61048808-1.61058395) × cos(-1.20047509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361914911150003 × 6371000     		du = 221.053201511054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20044039)-sin(-1.20047509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361947258658434-0.361914911150003)×R²
    abs(1.61058395-1.61048808)×3.23475084307301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23475084307301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23475084307301e-05×40589641000000     		ar = 48871.2330876974m²