Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49563 / 80509
↖ ↑ ↗
← S 37.989669°
W 43.871155°		 ← 240.71 m → S 37.989669°
W 43.868408°		 →
↑
240.70 m
↓
↑
240.70 m
↓
S 37.991834°
W 43.871155°		 ← 240.71 m →
57 938 m²		 S 37.991834°
W 43.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378139495849609 y=0.614238739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378139495849609 × 217)
    floor (0.378139495849609 × 131072)
    floor (49563.5)     		tx = 49563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614238739013672 × 217)
    floor (0.614238739013672 × 131072)
    floor (80509.5)     		ty = 80509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49563 / 80509 ti = "17/49563/80509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49563/80509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49563 ÷ 217
    49563 ÷ 131072     		x = 0.378135681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80509 ÷ 217
    80509 ÷ 131072     		y = 0.614234924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378135681152344 × 2 - 1) × π
    -0.243728637695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.76569610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614234924316406 × 2 - 1) × π
    -0.228469848632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.717759198011101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76569610} λ = -0.76569610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.717759198011101))-π/2
    2×atan(0.487844194335167)-π/2
    2×0.453875760124833-π/2
    0.907751520249667-1.57079632675     		φ = -0.66304481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76569610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.871155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66304481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.989669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49563 KachelY 80509 -0.76569610 -0.66304481 -43.871155 -37.989669
    Oben rechts KachelX + 1 49564 KachelY 80509 -0.76564816 -0.66304481 -43.868408 -37.989669
    Unten links KachelX 49563 KachelY + 1 80510 -0.76569610 -0.66308259 -43.871155 -37.991834
    Unten rechts KachelX + 1 49564 KachelY + 1 80510 -0.76564816 -0.66308259 -43.868408 -37.991834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66304481--0.66308259) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dl = 240.696379999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66304481--0.66308259) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dr = 240.696379999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76569610--0.76564816) × cos(-0.66304481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788121748105825 × 6371000     		do = 240.712668125157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76569610--0.76564816) × cos(-0.66308259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788098493221107 × 6371000     		du = 240.705565484784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66304481)-sin(-0.66308259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788121748105825-0.788098493221107)×R²
    abs(-0.76564816--0.76569610)×2.32548847174385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32548847174385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32548847174385e-05×40589641000000     		ar = 57937.8130549453m²