Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49563 / 80507
↖ ↑ ↗
← S 37.985339°
W 43.871155°		 ← 240.73 m → S 37.985339°
W 43.868408°		 →
↑
240.76 m
↓
↑
240.76 m
↓
S 37.987505°
W 43.871155°		 ← 240.72 m →
57 957 m²		 S 37.987505°
W 43.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378139495849609 y=0.614223480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378139495849609 × 217)
    floor (0.378139495849609 × 131072)
    floor (49563.5)     		tx = 49563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614223480224609 × 217)
    floor (0.614223480224609 × 131072)
    floor (80507.5)     		ty = 80507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49563 / 80507 ti = "17/49563/80507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49563/80507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49563 ÷ 217
    49563 ÷ 131072     		x = 0.378135681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80507 ÷ 217
    80507 ÷ 131072     		y = 0.614219665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378135681152344 × 2 - 1) × π
    -0.243728637695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.76569610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614219665527344 × 2 - 1) × π
    -0.228439331054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.717663324211861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76569610} λ = -0.76569610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.717663324211861))-π/2
    2×atan(0.487890968053666)-π/2
    2×0.453913541352792-π/2
    0.907827082705584-1.57079632675     		φ = -0.66296924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76569610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.871155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66296924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.985339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49563 KachelY 80507 -0.76569610 -0.66296924 -43.871155 -37.985339
    Oben rechts KachelX + 1 49564 KachelY 80507 -0.76564816 -0.66296924 -43.868408 -37.985339
    Unten links KachelX 49563 KachelY + 1 80508 -0.76569610 -0.66300703 -43.871155 -37.987505
    Unten rechts KachelX + 1 49564 KachelY + 1 80508 -0.76564816 -0.66300703 -43.868408 -37.987505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66296924--0.66300703) × R
    3.77900000000375e-05 × 6371000     		dl = 240.760090000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66296924--0.66300703) × R
    3.77900000000375e-05 × 6371000     		dr = 240.760090000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76569610--0.76564816) × cos(-0.66296924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788168260655099 × 6371000     		do = 240.726874254939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76569610--0.76564816) × cos(-0.66300703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.788145001865634 × 6371000     		du = 240.719770421955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66296924)-sin(-0.66300703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.788168260655099-0.788145001865634)×R²
    abs(-0.76564816--0.76569610)×2.32587894654079e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32587894654079e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32587894654079e-05×40589641000000     		ar = 57956.5687581457m²