Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49563 / 80423
↖ ↑ ↗
← S 37.803274°
W 43.871155°		 ← 241.32 m → S 37.803274°
W 43.868408°		 →
↑
241.27 m
↓
↑
241.27 m
↓
S 37.805444°
W 43.871155°		 ← 241.32 m →
58 223 m²		 S 37.805444°
W 43.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378139495849609 y=0.613582611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378139495849609 × 217)
    floor (0.378139495849609 × 131072)
    floor (49563.5)     		tx = 49563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613582611083984 × 217)
    floor (0.613582611083984 × 131072)
    floor (80423.5)     		ty = 80423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49563 / 80423 ti = "17/49563/80423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49563/80423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49563 ÷ 217
    49563 ÷ 131072     		x = 0.378135681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80423 ÷ 217
    80423 ÷ 131072     		y = 0.613578796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378135681152344 × 2 - 1) × π
    -0.243728637695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.76569610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613578796386719 × 2 - 1) × π
    -0.227157592773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.713636624643776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76569610} λ = -0.76569610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.713636624643776))-π/2
    2×atan(0.489859519125986)-π/2
    2×0.4555023650315-π/2
    0.911004730063-1.57079632675     		φ = -0.65979160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76569610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.871155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65979160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.803274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49563 KachelY 80423 -0.76569610 -0.65979160 -43.871155 -37.803274
    Oben rechts KachelX + 1 49564 KachelY 80423 -0.76564816 -0.65979160 -43.868408 -37.803274
    Unten links KachelX 49563 KachelY + 1 80424 -0.76569610 -0.65982947 -43.871155 -37.805444
    Unten rechts KachelX + 1 49564 KachelY + 1 80424 -0.76564816 -0.65982947 -43.868408 -37.805444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65979160--0.65982947) × R
    3.78699999999954e-05 × 6371000     		dl = 241.269769999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65979160--0.65982947) × R
    3.78699999999954e-05 × 6371000     		dr = 241.269769999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76569610--0.76564816) × cos(-0.65979160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.790119987893489 × 6371000     		do = 241.322981991002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76569610--0.76564816) × cos(-0.65982947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.790096774826948 × 6371000     		du = 241.315892122976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65979160)-sin(-0.65982947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790119987893489-0.790096774826948)×R²
    abs(-0.76564816--0.76569610)×2.32130665406283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32130665406283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32130665406283e-05×40589641000000     		ar = 58223.0850820737m²