Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49562 / 80516
↖ ↑ ↗
← S 38.004820°
W 43.873901°		 ← 240.61 m → S 38.004820°
W 43.871155°		 →
↑
240.63 m
↓
↑
240.63 m
↓
S 38.006984°
W 43.873901°		 ← 240.61 m →
57 898 m²		 S 38.006984°
W 43.871155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378131866455078 y=0.614292144775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378131866455078 × 217)
    floor (0.378131866455078 × 131072)
    floor (49562.5)     		tx = 49562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614292144775391 × 217)
    floor (0.614292144775391 × 131072)
    floor (80516.5)     		ty = 80516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49562 / 80516 ti = "17/49562/80516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49562/80516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49562 ÷ 217
    49562 ÷ 131072     		x = 0.378128051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80516 ÷ 217
    80516 ÷ 131072     		y = 0.614288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378128051757812 × 2 - 1) × π
    -0.243743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76574403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.22857666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.718094756308441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76574403} λ = -0.76574403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.718094756308441))-π/2
    2×atan(0.487680521630351)-π/2
    2×0.453743543384739-π/2
    0.907487086769478-1.57079632675     		φ = -0.66330924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76574403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.873901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66330924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.004820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49562 KachelY 80516 -0.76574403 -0.66330924 -43.873901 -38.004820
    Oben rechts KachelX + 1 49563 KachelY 80516 -0.76569610 -0.66330924 -43.871155 -38.004820
    Unten links KachelX 49562 KachelY + 1 80517 -0.76574403 -0.66334701 -43.873901 -38.006984
    Unten rechts KachelX + 1 49563 KachelY + 1 80517 -0.76569610 -0.66334701 -43.871155 -38.006984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66330924--0.66334701) × R
    3.7769999999937e-05 × 6371000     		dl = 240.632669999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66330924--0.66334701) × R
    3.7769999999937e-05 × 6371000     		dr = 240.632669999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76574403--0.76569610) × cos(-0.66330924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.787958958763415 × 6371000     		do = 240.61274720483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76574403--0.76569610) × cos(-0.66334701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.787935702163736 × 6371000     		du = 240.605645522341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66330924)-sin(-0.66334701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787958958763415-0.787935702163736)×R²
    abs(-0.76569610--0.76574403)×2.32565996793888e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32565996793888e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32565996793888e-05×40589641000000     		ar = 57898.4333542549m²