Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49562 / 80446
↖ ↑ ↗
← S 37.853170°
W 43.873901°		 ← 241.11 m → S 37.853170°
W 43.871155°		 →
↑
241.14 m
↓
↑
241.14 m
↓
S 37.855339°
W 43.873901°		 ← 241.10 m →
58 141 m²		 S 37.855339°
W 43.871155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378131866455078 y=0.613758087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378131866455078 × 217)
    floor (0.378131866455078 × 131072)
    floor (49562.5)     		tx = 49562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613758087158203 × 217)
    floor (0.613758087158203 × 131072)
    floor (80446.5)     		ty = 80446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49562 / 80446 ti = "17/49562/80446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49562/80446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49562 ÷ 217
    49562 ÷ 131072     		x = 0.378128051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80446 ÷ 217
    80446 ÷ 131072     		y = 0.613754272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378128051757812 × 2 - 1) × π
    -0.243743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76574403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613754272460938 × 2 - 1) × π
    -0.227508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.714739173335037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76574403} λ = -0.76574403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.714739173335037))-π/2
    2×atan(0.489319722784828)-π/2
    2×0.455066939355173-π/2
    0.910133878710346-1.57079632675     		φ = -0.66066245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76574403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.873901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66066245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.853170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49562 KachelY 80446 -0.76574403 -0.66066245 -43.873901 -37.853170
    Oben rechts KachelX + 1 49563 KachelY 80446 -0.76569610 -0.66066245 -43.871155 -37.853170
    Unten links KachelX 49562 KachelY + 1 80447 -0.76574403 -0.66070030 -43.873901 -37.855339
    Unten rechts KachelX + 1 49563 KachelY + 1 80447 -0.76569610 -0.66070030 -43.871155 -37.855339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66066245--0.66070030) × R
    3.78500000000059e-05 × 6371000     		dl = 241.142350000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66066245--0.66070030) × R
    3.78500000000059e-05 × 6371000     		dr = 241.142350000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76574403--0.76569610) × cos(-0.66066245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.789585898928392 × 6371000     		do = 241.109552956296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76574403--0.76569610) × cos(-0.66070030) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.789562672087 × 6371000     		du = 241.102460360858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66066245)-sin(-0.66070030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.789585898928392-0.789562672087)×R²
    abs(-0.76569610--0.76574403)×2.32268413914438e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32268413914438e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32268413914438e-05×40589641000000     		ar = 58140.8690518646m²