Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49561 / 80424
↖ ↑ ↗
← S 37.805444°
W 43.876648°		 ← 241.32 m → S 37.805444°
W 43.873901°		 →
↑
241.33 m
↓
↑
241.33 m
↓
S 37.807614°
W 43.876648°		 ← 241.31 m →
58 237 m²		 S 37.807614°
W 43.873901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378124237060547 y=0.613590240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378124237060547 × 217)
    floor (0.378124237060547 × 131072)
    floor (49561.5)     		tx = 49561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613590240478516 × 217)
    floor (0.613590240478516 × 131072)
    floor (80424.5)     		ty = 80424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49561 / 80424 ti = "17/49561/80424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49561/80424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49561 ÷ 217
    49561 ÷ 131072     		x = 0.378120422363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80424 ÷ 217
    80424 ÷ 131072     		y = 0.61358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378120422363281 × 2 - 1) × π
    -0.243759155273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.76579197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.2271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.713684561543396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76579197} λ = -0.76579197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.713684561543396))-π/2
    2×atan(0.489836037342216)-π/2
    2×0.455483427358407-π/2
    0.910966854716815-1.57079632675     		φ = -0.65982947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76579197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.876648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65982947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.805444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49561 KachelY 80424 -0.76579197 -0.65982947 -43.876648 -37.805444
    Oben rechts KachelX + 1 49562 KachelY 80424 -0.76574403 -0.65982947 -43.873901 -37.805444
    Unten links KachelX 49561 KachelY + 1 80425 -0.76579197 -0.65986735 -43.876648 -37.807614
    Unten rechts KachelX + 1 49562 KachelY + 1 80425 -0.76574403 -0.65986735 -43.873901 -37.807614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65982947--0.65986735) × R
    3.78799999999346e-05 × 6371000     		dl = 241.333479999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65982947--0.65986735) × R
    3.78799999999346e-05 × 6371000     		dr = 241.333479999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76579197--0.76574403) × cos(-0.65982947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.790096774826948 × 6371000     		do = 241.315892122976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76579197--0.76574403) × cos(-0.65986735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.79007355449718 × 6371000     		du = 241.308800036573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65982947)-sin(-0.65986735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790096774826948-0.79007355449718)×R²
    abs(-0.76574403--0.76579197)×2.32203297680922e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32203297680922e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32203297680922e-05×40589641000000     		ar = 58236.7482533892m²