Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49560 / 50256
↖ ↑ ↗
← S 68.815927°
E 92.241211°		 ← 220.72 m → S 68.815927°
E 92.246704°		 →
↑
220.69 m
↓
↑
220.69 m
↓
S 68.817912°
E 92.241211°		 ← 220.70 m →
48 708 m²		 S 68.817912°
E 92.246704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756233215332031 y=0.766853332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756233215332031 × 216)
    floor (0.756233215332031 × 65536)
    floor (49560.5)     		tx = 49560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766853332519531 × 216)
    floor (0.766853332519531 × 65536)
    floor (50256.5)     		ty = 50256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49560 / 50256 ti = "16/49560/50256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49560/50256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49560 ÷ 216
    49560 ÷ 65536     		x = 0.7562255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50256 ÷ 216
    50256 ÷ 65536     		y = 0.766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7562255859375 × 2 - 1) × π
    0.512451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60991284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.53369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67664100111108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60991284} λ = 1.60991284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67664100111108))-π/2
    2×atan(0.187001058613076)-π/2
    2×0.184865910261283-π/2
    0.369731820522567-1.57079632675     		φ = -1.20106451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60991284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.241211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20106451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.815927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49560 KachelY 50256 1.60991284 -1.20106451 92.241211 -68.815927
    Oben rechts KachelX + 1 49561 KachelY 50256 1.61000871 -1.20106451 92.246704 -68.815927
    Unten links KachelX 49560 KachelY + 1 50257 1.60991284 -1.20109915 92.241211 -68.817912
    Unten rechts KachelX + 1 49561 KachelY + 1 50257 1.61000871 -1.20109915 92.246704 -68.817912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20106451--1.20109915) × R
    3.46399999999747e-05 × 6371000     		dl = 220.691439999839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20106451--1.20109915) × R
    3.46399999999747e-05 × 6371000     		dr = 220.691439999839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60991284-1.61000871) × cos(-1.20106451) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361365384428115 × 6371000     		do = 220.717557310036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60991284-1.61000871) × cos(-1.20109915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361333085033865 × 6371000     		du = 220.69782923505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20106451)-sin(-1.20109915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361365384428115-0.361333085033865)×R²
    abs(1.61000871-1.60991284)×3.22993942493688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22993942493688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22993942493688e-05×40589641000000     		ar = 48708.2986520791m²