Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49558 / 80451
↖ ↑ ↗
← S 37.864013°
W 43.884888°		 ← 241.07 m → S 37.864013°
W 43.882141°		 →
↑
241.08 m
↓
↑
241.08 m
↓
S 37.866181°
W 43.884888°		 ← 241.07 m →
58 117 m²		 S 37.866181°
W 43.882141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378101348876953 y=0.613796234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378101348876953 × 217)
    floor (0.378101348876953 × 131072)
    floor (49558.5)     		tx = 49558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613796234130859 × 217)
    floor (0.613796234130859 × 131072)
    floor (80451.5)     		ty = 80451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49558 / 80451 ti = "17/49558/80451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49558/80451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49558 ÷ 217
    49558 ÷ 131072     		x = 0.378097534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80451 ÷ 217
    80451 ÷ 131072     		y = 0.613792419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378097534179688 × 2 - 1) × π
    -0.243804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76593578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613792419433594 × 2 - 1) × π
    -0.227584838867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.714978857833138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76593578} λ = -0.76593578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.714978857833138))-π/2
    2×atan(0.48920245448692)-π/2
    2×0.454972320564088-π/2
    0.909944641128176-1.57079632675     		φ = -0.66085169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76593578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66085169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.864013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49558 KachelY 80451 -0.76593578 -0.66085169 -43.884888 -37.864013
    Oben rechts KachelX + 1 49559 KachelY 80451 -0.76588785 -0.66085169 -43.882141 -37.864013
    Unten links KachelX 49558 KachelY + 1 80452 -0.76593578 -0.66088953 -43.884888 -37.866181
    Unten rechts KachelX + 1 49559 KachelY + 1 80452 -0.76588785 -0.66088953 -43.882141 -37.866181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66085169--0.66088953) × R
    3.78399999999557e-05 × 6371000     		dl = 241.078639999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66085169--0.66088953) × R
    3.78399999999557e-05 × 6371000     		dr = 241.078639999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76593578--0.76588785) × cos(-0.66085169) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.78946975954821 × 6371000     		do = 241.074088398842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76593578--0.76588785) × cos(-0.66088953) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.789446533189917 × 6371000     		du = 241.066995950925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66085169)-sin(-0.66088953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78946975954821-0.789446533189917)×R²
    abs(-0.76588785--0.76593578)×2.32263582926606e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.32263582926606e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.32263582926606e-05×40589641000000     		ar = 58116.9584584269m²