Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49558 / 80409
↖ ↑ ↗
← S 37.772886°
W 43.884888°		 ← 241.37 m → S 37.772886°
W 43.882141°		 →
↑
241.46 m
↓
↑
241.46 m
↓
S 37.775057°
W 43.884888°		 ← 241.36 m →
58 281 m²		 S 37.775057°
W 43.882141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378101348876953 y=0.613475799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378101348876953 × 217)
    floor (0.378101348876953 × 131072)
    floor (49558.5)     		tx = 49558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613475799560547 × 217)
    floor (0.613475799560547 × 131072)
    floor (80409.5)     		ty = 80409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49558 / 80409 ti = "17/49558/80409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49558/80409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49558 ÷ 217
    49558 ÷ 131072     		x = 0.378097534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80409 ÷ 217
    80409 ÷ 131072     		y = 0.613471984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378097534179688 × 2 - 1) × π
    -0.243804931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76593578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613471984863281 × 2 - 1) × π
    -0.226943969726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.712965508049095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76593578} λ = -0.76593578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.712965508049095))-π/2
    2×atan(0.490188382318763)-π/2
    2×0.455767550877578-π/2
    0.911535101755157-1.57079632675     		φ = -0.65926122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76593578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.884888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65926122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.772886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49558 KachelY 80409 -0.76593578 -0.65926122 -43.884888 -37.772886
    Oben rechts KachelX + 1 49559 KachelY 80409 -0.76588785 -0.65926122 -43.882141 -37.772886
    Unten links KachelX 49558 KachelY + 1 80410 -0.76593578 -0.65929912 -43.884888 -37.775057
    Unten rechts KachelX + 1 49559 KachelY + 1 80410 -0.76588785 -0.65929912 -43.882141 -37.775057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65926122--0.65929912) × R
    3.79000000000351e-05 × 6371000     		dl = 241.460900000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65926122--0.65929912) × R
    3.79000000000351e-05 × 6371000     		dr = 241.460900000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76593578--0.76588785) × cos(-0.65926122) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.790444974336816 × 6371000     		do = 241.371881966377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76593578--0.76588785) × cos(-0.65929912) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.790421758766364 × 6371000     		du = 241.364792812656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65926122)-sin(-0.65929912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.790444974336816-0.790421758766364)×R²
    abs(-0.76588785--0.76593578)×2.32155704520398e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.32155704520398e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.32155704520398e-05×40589641000000     		ar = 58281.0159847533m²