Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49558 / 50260
↖ ↑ ↗
← S 68.823866°
E 92.230225°		 ← 220.64 m → S 68.823866°
E 92.235718°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
S 68.825850°
E 92.230225°		 ← 220.62 m →
48 677 m²		 S 68.825850°
E 92.235718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756202697753906 y=0.766914367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756202697753906 × 216)
    floor (0.756202697753906 × 65536)
    floor (49558.5)     		tx = 49558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766914367675781 × 216)
    floor (0.766914367675781 × 65536)
    floor (50260.5)     		ty = 50260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49558 / 50260 ti = "16/49558/50260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49558/50260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49558 ÷ 216
    49558 ÷ 65536     		x = 0.756195068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50260 ÷ 216
    50260 ÷ 65536     		y = 0.76690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756195068359375 × 2 - 1) × π
    0.51239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60972109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.5338134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67702449630804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60972109} λ = 1.60972109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67702449630804))-π/2
    2×atan(0.186929358354502)-π/2
    2×0.18479663170326-π/2
    0.369593263406521-1.57079632675     		φ = -1.20120306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60972109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.230225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20120306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.823866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49558 KachelY 50260 1.60972109 -1.20120306 92.230225 -68.823866
    Oben rechts KachelX + 1 49559 KachelY 50260 1.60981696 -1.20120306 92.235718 -68.823866
    Unten links KachelX 49558 KachelY + 1 50261 1.60972109 -1.20123769 92.230225 -68.825850
    Unten rechts KachelX + 1 49559 KachelY + 1 50261 1.60981696 -1.20123769 92.235718 -68.825850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20120306--1.20123769) × R
    3.46299999998134e-05 × 6371000     		dl = 220.627729998811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20120306--1.20123769) × R
    3.46299999998134e-05 × 6371000     		dr = 220.627729998811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60972109-1.60981696) × cos(-1.20120306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36123619357457 × 6371000     		do = 220.638649116695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60972109-1.60981696) × cos(-1.20123769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36120390177125 × 6371000     		du = 220.618925678156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20120306)-sin(-1.20123769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36123619357457-0.36120390177125)×R²
    abs(1.60981696-1.60972109)×3.22918033199837e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22918033199837e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22918033199837e-05×40589641000000     		ar = 48676.8285406656m²