Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49556 / 80571
↖ ↑ ↗
← S 38.123754°
W 43.890381°		 ← 240.27 m → S 38.123754°
W 43.887634°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
S 38.125915°
W 43.890381°		 ← 240.26 m →
57 725 m²		 S 38.125915°
W 43.887634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378086090087891 y=0.614711761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378086090087891 × 217)
    floor (0.378086090087891 × 131072)
    floor (49556.5)     		tx = 49556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614711761474609 × 217)
    floor (0.614711761474609 × 131072)
    floor (80571.5)     		ty = 80571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49556 / 80571 ti = "17/49556/80571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49556/80571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49556 ÷ 217
    49556 ÷ 131072     		x = 0.378082275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80571 ÷ 217
    80571 ÷ 131072     		y = 0.614707946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.24383544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76603166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614707946777344 × 2 - 1) × π
    -0.229415893554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.720731285787544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76603166} λ = -0.76603166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720731285787544))-π/2
    2×atan(0.486396431073831)-π/2
    2×0.452705648298765-π/2
    0.905411296597531-1.57079632675     		φ = -0.66538503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76603166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66538503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.123754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49556 KachelY 80571 -0.76603166 -0.66538503 -43.890381 -38.123754
    Oben rechts KachelX + 1 49557 KachelY 80571 -0.76598372 -0.66538503 -43.887634 -38.123754
    Unten links KachelX 49556 KachelY + 1 80572 -0.76603166 -0.66542274 -43.890381 -38.125915
    Unten rechts KachelX + 1 49557 KachelY + 1 80572 -0.76598372 -0.66542274 -43.887634 -38.125915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66538503--0.66542274) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dl = 240.2504099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66538503--0.66542274) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dr = 240.2504099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76603166--0.76598372) × cos(-0.66538503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786679140526966 × 6371000     		do = 240.272058637855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76603166--0.76598372) × cos(-0.66542274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786655859243832 × 6371000     		du = 240.264947934726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66538503)-sin(-0.66542274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786679140526966-0.786655859243832)×R²
    abs(-0.76598372--0.76603166)×2.32812831342244e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32812831342244e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32812831342244e-05×40589641000000     		ar = 57724.6064315192m²