Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49556 / 50213
↖ ↑ ↗
← S 68.730406°
E 92.219238°		 ← 221.59 m → S 68.730406°
E 92.224732°		 →
↑
221.58 m
↓
↑
221.58 m
↓
S 68.732399°
E 92.219238°		 ← 221.57 m →
49 099 m²		 S 68.732399°
E 92.224732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756172180175781 y=0.766197204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756172180175781 × 216)
    floor (0.756172180175781 × 65536)
    floor (49556.5)     		tx = 49556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766197204589844 × 216)
    floor (0.766197204589844 × 65536)
    floor (50213.5)     		ty = 50213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49556 / 50213 ti = "16/49556/50213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49556/50213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49556 ÷ 216
    49556 ÷ 65536     		x = 0.75616455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50213 ÷ 216
    50213 ÷ 65536     		y = 0.766189575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75616455078125 × 2 - 1) × π
    0.5123291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60952934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766189575195312 × 2 - 1) × π
    -0.532379150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67251842774376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60952934} λ = 1.60952934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67251842774376))-π/2
    2×atan(0.187773575481593)-π/2
    2×0.185612221132859-π/2
    0.371224442265718-1.57079632675     		φ = -1.19957188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60952934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.219238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19957188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.730406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49556 KachelY 50213 1.60952934 -1.19957188 92.219238 -68.730406
    Oben rechts KachelX + 1 49557 KachelY 50213 1.60962522 -1.19957188 92.224732 -68.730406
    Unten links KachelX 49556 KachelY + 1 50214 1.60952934 -1.19960666 92.219238 -68.732399
    Unten rechts KachelX + 1 49557 KachelY + 1 50214 1.60962522 -1.19960666 92.224732 -68.732399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19957188--1.19960666) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dl = 221.583380000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19957188--1.19960666) × R
    3.4780000000012e-05 × 6371000     		dr = 221.583380000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60952934-1.60962522) × cos(-1.19957188) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.362756745830284 × 6371000     		do = 221.590495070781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60952934-1.60962522) × cos(-1.19960666) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.362724334689959 × 6371000     		du = 221.570696677745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19957188)-sin(-1.19960666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362756745830284-0.362724334689959)×R²
    abs(1.60962522-1.60952934)×3.24111403250393e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.24111403250393e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.24111403250393e-05×40589641000000     		ar = 49098.5773809518m²