Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49551 / 80592
↖ ↑ ↗
← S 38.169114°
W 43.904114°		 ← 240.12 m → S 38.169114°
W 43.901367°		 →
↑
240.12 m
↓
↑
240.12 m
↓
S 38.171273°
W 43.904114°		 ← 240.12 m →
57 658 m²		 S 38.171273°
W 43.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378047943115234 y=0.614871978759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378047943115234 × 217)
    floor (0.378047943115234 × 131072)
    floor (49551.5)     		tx = 49551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614871978759766 × 217)
    floor (0.614871978759766 × 131072)
    floor (80592.5)     		ty = 80592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49551 / 80592 ti = "17/49551/80592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49551/80592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49551 ÷ 217
    49551 ÷ 131072     		x = 0.378044128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80592 ÷ 217
    80592 ÷ 131072     		y = 0.6148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378044128417969 × 2 - 1) × π
    -0.243911743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.76627134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.229736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.721737960679565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76627134} λ = -0.76627134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721737960679565))-π/2
    2×atan(0.485907034372116)-π/2
    2×0.452309806288034-π/2
    0.904619612576069-1.57079632675     		φ = -0.66617671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76627134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.904114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66617671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.169114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49551 KachelY 80592 -0.76627134 -0.66617671 -43.904114 -38.169114
    Oben rechts KachelX + 1 49552 KachelY 80592 -0.76622340 -0.66617671 -43.901367 -38.169114
    Unten links KachelX 49551 KachelY + 1 80593 -0.76627134 -0.66621440 -43.904114 -38.171273
    Unten rechts KachelX + 1 49552 KachelY + 1 80593 -0.76622340 -0.66621440 -43.901367 -38.171273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66617671--0.66621440) × R
    3.76899999999791e-05 × 6371000     		dl = 240.122989999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66617671--0.66621440) × R
    3.76899999999791e-05 × 6371000     		dr = 240.122989999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76627134--0.76622340) × cos(-0.66617671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786190140843228 × 6371000     		do = 240.12270554759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76627134--0.76622340) × cos(-0.66621440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786166848442308 × 6371000     		du = 240.115591448802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66617671)-sin(-0.66621440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786190140843228-0.786166848442308)×R²
    abs(-0.76622340--0.76627134)×2.32924009201385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32924009201385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32924009201385e-05×40589641000000     		ar = 57658.1279004054m²