Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49551 / 80578
↖ ↑ ↗
← S 38.138877°
W 43.904114°		 ← 240.22 m → S 38.138877°
W 43.901367°		 →
↑
240.19 m
↓
↑
240.19 m
↓
S 38.141037°
W 43.904114°		 ← 240.22 m →
57 697 m²		 S 38.141037°
W 43.901367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378047943115234 y=0.614765167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378047943115234 × 217)
    floor (0.378047943115234 × 131072)
    floor (49551.5)     		tx = 49551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614765167236328 × 217)
    floor (0.614765167236328 × 131072)
    floor (80578.5)     		ty = 80578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49551 / 80578 ti = "17/49551/80578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49551/80578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49551 ÷ 217
    49551 ÷ 131072     		x = 0.378044128417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80578 ÷ 217
    80578 ÷ 131072     		y = 0.614761352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378044128417969 × 2 - 1) × π
    -0.243911743164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.76627134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614761352539062 × 2 - 1) × π
    -0.229522705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.721066844084885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76627134} λ = -0.76627134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721066844084885))-π/2
    2×atan(0.486233244096491)-π/2
    2×0.452573673614318-π/2
    0.905147347228636-1.57079632675     		φ = -0.66564898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76627134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.904114°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66564898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.138877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49551 KachelY 80578 -0.76627134 -0.66564898 -43.904114 -38.138877
    Oben rechts KachelX + 1 49552 KachelY 80578 -0.76622340 -0.66564898 -43.901367 -38.138877
    Unten links KachelX 49551 KachelY + 1 80579 -0.76627134 -0.66568668 -43.904114 -38.141037
    Unten rechts KachelX + 1 49552 KachelY + 1 80579 -0.76622340 -0.66568668 -43.901367 -38.141037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66564898--0.66568668) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dl = 240.186700000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66564898--0.66568668) × R
    3.77000000000294e-05 × 6371000     		dr = 240.186700000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76627134--0.76622340) × cos(-0.66564898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786516160405733 × 6371000     		do = 240.222280313722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76627134--0.76622340) × cos(-0.66568668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786492877469265 × 6371000     		du = 240.215169105622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66564898)-sin(-0.66568668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786516160405733-0.786492877469265)×R²
    abs(-0.76622340--0.76627134)×2.32829364675835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32829364675835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32829364675835e-05×40589641000000     		ar = 57697.3427730784m²