Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49551 / 50259
↖ ↑ ↗
← S 68.821882°
E 92.191772°		 ← 220.68 m → S 68.821882°
E 92.197266°		 →
↑
220.63 m
↓
↑
220.63 m
↓
S 68.823866°
E 92.191772°		 ← 220.66 m →
48 686 m²		 S 68.823866°
E 92.197266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756095886230469 y=0.766899108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756095886230469 × 216)
    floor (0.756095886230469 × 65536)
    floor (49551.5)     		tx = 49551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766899108886719 × 216)
    floor (0.766899108886719 × 65536)
    floor (50259.5)     		ty = 50259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49551 / 50259 ti = "16/49551/50259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49551/50259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49551 ÷ 216
    49551 ÷ 65536     		x = 0.756088256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50259 ÷ 216
    50259 ÷ 65536     		y = 0.766891479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.756088256835938 × 2 - 1) × π
    0.512176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60904997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766891479492188 × 2 - 1) × π
    -0.533782958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6769286225088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60904997} λ = 1.60904997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6769286225088))-π/2
    2×atan(0.186947280841412)-π/2
    2×0.184813949020327-π/2
    0.369627898040655-1.57079632675     		φ = -1.20116843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60904997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.191772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20116843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.821882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49551 KachelY 50259 1.60904997 -1.20116843 92.191772 -68.821882
    Oben rechts KachelX + 1 49552 KachelY 50259 1.60914585 -1.20116843 92.197266 -68.821882
    Unten links KachelX 49551 KachelY + 1 50260 1.60904997 -1.20120306 92.191772 -68.823866
    Unten rechts KachelX + 1 49552 KachelY + 1 50260 1.60914585 -1.20120306 92.197266 -68.823866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20116843--1.20120306) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dl = 220.627730000226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20116843--1.20120306) × R
    3.46300000000355e-05 × 6371000     		dr = 220.627730000226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60904997-1.60914585) × cos(-1.20116843) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361268484944682 × 6371000     		do = 220.681388705672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60904997-1.60914585) × cos(-1.20120306) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36123619357457 × 6371000     		du = 220.661663474448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20116843)-sin(-1.20120306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361268484944682-0.36123619357457)×R²
    abs(1.60914585-1.60904997)×3.22913701124583e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22913701124583e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22913701124583e-05×40589641000000     		ar = 48686.2578820733m²