Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49549 / 80548
↖ ↑ ↗
← S 38.074041°
W 43.909607°		 ← 240.39 m → S 38.074041°
W 43.906861°		 →
↑
240.44 m
↓
↑
240.44 m
↓
S 38.076204°
W 43.909607°		 ← 240.38 m →
57 798 m²		 S 38.076204°
W 43.906861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378032684326172 y=0.614536285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378032684326172 × 217)
    floor (0.378032684326172 × 131072)
    floor (49549.5)     		tx = 49549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614536285400391 × 217)
    floor (0.614536285400391 × 131072)
    floor (80548.5)     		ty = 80548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49549 / 80548 ti = "17/49549/80548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49549/80548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49549 ÷ 217
    49549 ÷ 131072     		x = 0.378028869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80548 ÷ 217
    80548 ÷ 131072     		y = 0.614532470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.378028869628906 × 2 - 1) × π
    -0.243942260742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.76636721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614532470703125 × 2 - 1) × π
    -0.22906494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.719628737096283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76636721} λ = -0.76636721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719628737096283))-π/2
    2×atan(0.486933002566089)-π/2
    2×0.453139471901695-π/2
    0.90627894380339-1.57079632675     		φ = -0.66451738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76636721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.909607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66451738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.074041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49549 KachelY 80548 -0.76636721 -0.66451738 -43.909607 -38.074041
    Oben rechts KachelX + 1 49550 KachelY 80548 -0.76631928 -0.66451738 -43.906861 -38.074041
    Unten links KachelX 49549 KachelY + 1 80549 -0.76636721 -0.66455512 -43.909607 -38.076204
    Unten rechts KachelX + 1 49550 KachelY + 1 80549 -0.76631928 -0.66455512 -43.906861 -38.076204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66451738--0.66455512) × R
    3.77400000000083e-05 × 6371000     		dl = 240.441540000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66451738--0.66455512) × R
    3.77400000000083e-05 × 6371000     		dr = 240.441540000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76636721--0.76631928) × cos(-0.66451738) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.787214498550366 × 6371000     		do = 240.385417322362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76636721--0.76631928) × cos(-0.66455512) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.78719122451376 × 6371000     		du = 240.378310315298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66451738)-sin(-0.66455512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787214498550366-0.78719122451376)×R²
    abs(-0.76631928--0.76636721)×2.3274036605514e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3274036605514e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3274036605514e-05×40589641000000     		ar = 57797.7855315356m²