Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49543 / 58111
↖ ↑ ↗
← N 19.975930°
W 43.926087°		 ← 287.05 m → N 19.975930°
W 43.923340°		 →
↑
287.01 m
↓
↑
287.01 m
↓
N 19.973349°
W 43.926087°		 ← 287.05 m →
82 388 m²		 N 19.973349°
W 43.923340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377986907958984 y=0.443355560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377986907958984 × 217)
    floor (0.377986907958984 × 131072)
    floor (49543.5)     		tx = 49543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443355560302734 × 217)
    floor (0.443355560302734 × 131072)
    floor (58111.5)     		ty = 58111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49543 / 58111 ti = "17/49543/58111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49543/58111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49543 ÷ 217
    49543 ÷ 131072     		x = 0.377983093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58111 ÷ 217
    58111 ÷ 131072     		y = 0.443351745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377983093261719 × 2 - 1) × π
    -0.244033813476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.76665484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443351745605469 × 2 - 1) × π
    0.113296508789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.355931479678917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76665484} λ = -0.76665484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355931479678917))-π/2
    2×atan(1.42750973148751)-π/2
    2×0.959721039477801-π/2
    1.9194420789556-1.57079632675     		φ = 0.34864575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76665484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.926087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34864575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.975930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49543 KachelY 58111 -0.76665484 0.34864575 -43.926087 19.975930
    Oben rechts KachelX + 1 49544 KachelY 58111 -0.76660690 0.34864575 -43.923340 19.975930
    Unten links KachelX 49543 KachelY + 1 58112 -0.76665484 0.34860070 -43.926087 19.973349
    Unten rechts KachelX + 1 49544 KachelY + 1 58112 -0.76660690 0.34860070 -43.923340 19.973349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34864575-0.34860070) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dl = 287.013549999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34864575-0.34860070) × R
    4.50499999999909e-05 × 6371000     		dr = 287.013549999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76665484--0.76660690) × cos(0.34864575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939836220659796 × 6371000     		do = 287.050173173633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76665484--0.76660690) × cos(0.34860070) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939851609928014 × 6371000     		du = 287.054873452267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34864575)-sin(0.34860070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939836220659796-0.939851609928014)×R²
    abs(-0.76660690--0.76665484)×1.53892682182022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53892682182022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53892682182022e-05×40589641000000     		ar = 82387.9637664341m²