Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49540 / 115077
↖ ↑ ↗
← S 79.370234°
W 43.934326°		 ← 56.34 m → S 79.370234°
W 43.931580°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
S 79.370741°
W 43.934326°		 ← 56.34 m →
3 173 m²		 S 79.370741°
W 43.931580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377964019775391 y=0.877971649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377964019775391 × 217)
    floor (0.377964019775391 × 131072)
    floor (49540.5)     		tx = 49540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877971649169922 × 217)
    floor (0.877971649169922 × 131072)
    floor (115077.5)     		ty = 115077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49540 / 115077 ti = "17/49540/115077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49540/115077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49540 ÷ 217
    49540 ÷ 131072     		x = 0.377960205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115077 ÷ 217
    115077 ÷ 131072     		y = 0.877967834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.24407958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76679865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877967834472656 × 2 - 1) × π
    -0.755935668945312 × 3.1415926535     		Φ = -2.3748419440772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76679865} λ = -0.76679865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3748419440772))-π/2
    2×atan(0.0930291918634794)-π/2
    2×0.0927622053085537-π/2
    0.185524410617107-1.57079632675     		φ = -1.38527192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76679865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.934326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38527192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.370234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49540 KachelY 115077 -0.76679865 -1.38527192 -43.934326 -79.370234
    Oben rechts KachelX + 1 49541 KachelY 115077 -0.76675071 -1.38527192 -43.931580 -79.370234
    Unten links KachelX 49540 KachelY + 1 115078 -0.76679865 -1.38528076 -43.934326 -79.370741
    Unten rechts KachelX + 1 49541 KachelY + 1 115078 -0.76675071 -1.38528076 -43.931580 -79.370741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38527192--1.38528076) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38527192--1.38528076) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76679865--0.76675071) × cos(-1.38527192) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18446196666032 × 6371000     		do = 56.3394326691771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76679865--0.76675071) × cos(-1.38528076) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.184453278350583 × 6371000     		du = 56.3367790357463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38527192)-sin(-1.38528076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18446196666032-0.184453278350583)×R²
    abs(-0.76675071--0.76679865)×8.68830973693724e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.68830973693724e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.68830973693724e-06×40589641000000     		ar = 3172.94183987793m²