Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49539 / 82787
↖ ↑ ↗
← S 42.753063°
W 43.937073°		 ← 224.22 m → S 42.753063°
W 43.934326°		 →
↑
224.26 m
↓
↑
224.26 m
↓
S 42.755080°
W 43.937073°		 ← 224.22 m →
50 283 m²		 S 42.755080°
W 43.934326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377956390380859 y=0.631618499755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377956390380859 × 217)
    floor (0.377956390380859 × 131072)
    floor (49539.5)     		tx = 49539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631618499755859 × 217)
    floor (0.631618499755859 × 131072)
    floor (82787.5)     		ty = 82787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49539 / 82787 ti = "17/49539/82787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49539/82787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49539 ÷ 217
    49539 ÷ 131072     		x = 0.377952575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82787 ÷ 217
    82787 ÷ 131072     		y = 0.631614685058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377952575683594 × 2 - 1) × π
    -0.244094848632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.76684658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631614685058594 × 2 - 1) × π
    -0.263229370117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.826959455345589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76684658} λ = -0.76684658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826959455345589))-π/2
    2×atan(0.437377131311129)-π/2
    2×0.412307307815441-π/2
    0.824614615630882-1.57079632675     		φ = -0.74618171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76684658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.937073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74618171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.753063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49539 KachelY 82787 -0.76684658 -0.74618171 -43.937073 -42.753063
    Oben rechts KachelX + 1 49540 KachelY 82787 -0.76679865 -0.74618171 -43.934326 -42.753063
    Unten links KachelX 49539 KachelY + 1 82788 -0.76684658 -0.74621691 -43.937073 -42.755080
    Unten rechts KachelX + 1 49540 KachelY + 1 82788 -0.76679865 -0.74621691 -43.934326 -42.755080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74618171--0.74621691) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dl = 224.259200000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74618171--0.74621691) × R
    3.5200000000013e-05 × 6371000     		dr = 224.259200000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76684658--0.76679865) × cos(-0.74618171) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734286223247198 × 6371000     		do = 224.223131731935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76684658--0.76679865) × cos(-0.74621691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734262327624382 × 6371000     		du = 224.215834916044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74618171)-sin(-0.74621691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734286223247198-0.734262327624382)×R²
    abs(-0.76679865--0.76684658)×2.38956228157949e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38956228157949e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38956228157949e-05×40589641000000     		ar = 50283.2819598086m²