Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49536 / 51327
↖ ↑ ↗
← S 70.842870°
E 92.109375°		 ← 200.44 m → S 70.842870°
E 92.114868°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 70.844672°
E 92.109375°		 ← 200.42 m →
40 172 m²		 S 70.844672°
E 92.114868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755867004394531 y=0.783195495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755867004394531 × 216)
    floor (0.755867004394531 × 65536)
    floor (49536.5)     		tx = 49536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783195495605469 × 216)
    floor (0.783195495605469 × 65536)
    floor (51327.5)     		ty = 51327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49536 / 51327 ti = "16/49536/51327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49536/51327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49536 ÷ 216
    49536 ÷ 65536     		x = 0.755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51327 ÷ 216
    51327 ÷ 65536     		y = 0.783187866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755859375 × 2 - 1) × π
    0.51171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60761187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783187866210938 × 2 - 1) × π
    -0.566375732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.77932184009724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60761187} λ = 1.60761187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77932184009724))-π/2
    2×atan(0.168752549685329)-π/2
    2×0.167177496181426-π/2
    0.334354992362852-1.57079632675     		φ = -1.23644133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60761187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23644133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.842870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49536 KachelY 51327 1.60761187 -1.23644133 92.109375 -70.842870
    Oben rechts KachelX + 1 49537 KachelY 51327 1.60770774 -1.23644133 92.114868 -70.842870
    Unten links KachelX 49536 KachelY + 1 51328 1.60761187 -1.23647279 92.109375 -70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 49537 KachelY + 1 51328 1.60770774 -1.23647279 92.114868 -70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23644133--1.23647279) × R
    3.14600000002052e-05 × 6371000     		dl = 200.431660001307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23644133--1.23647279) × R
    3.14600000002052e-05 × 6371000     		dr = 200.431660001307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60761187-1.60770774) × cos(-1.23644133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32815995385072 × 6371000     		do = 200.43608641578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60761187-1.60770774) × cos(-1.23647279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 200.41793503957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23644133)-sin(-1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32815995385072-0.328130235874851)×R²
    abs(1.60770774-1.60761187)×2.97179758692034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97179758692034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97179758692034e-05×40589641000000     		ar = 40171.9184726421m²