Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49535 / 50248
↖ ↑ ↗
← S 68.800041°
E 92.103882°		 ← 220.90 m → S 68.800041°
E 92.109375°		 →
↑
220.88 m
↓
↑
220.88 m
↓
S 68.802027°
E 92.103882°		 ← 220.88 m →
48 790 m²		 S 68.802027°
E 92.109375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755851745605469 y=0.766731262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755851745605469 × 216)
    floor (0.755851745605469 × 65536)
    floor (49535.5)     		tx = 49535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766731262207031 × 216)
    floor (0.766731262207031 × 65536)
    floor (50248.5)     		ty = 50248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49535 / 50248 ti = "16/49535/50248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49535/50248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49535 ÷ 216
    49535 ÷ 65536     		x = 0.755844116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50248 ÷ 216
    50248 ÷ 65536     		y = 0.7667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755844116210938 × 2 - 1) × π
    0.511688232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60751599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67587401071716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60751599} λ = 1.60751599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67587401071716))-π/2
    2×atan(0.187144541646705)-π/2
    2×0.185004541716077-π/2
    0.370009083432153-1.57079632675     		φ = -1.20078724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60751599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.103882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20078724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.800041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49535 KachelY 50248 1.60751599 -1.20078724 92.103882 -68.800041
    Oben rechts KachelX + 1 49536 KachelY 50248 1.60761187 -1.20078724 92.109375 -68.800041
    Unten links KachelX 49535 KachelY + 1 50249 1.60751599 -1.20082191 92.103882 -68.802027
    Unten rechts KachelX + 1 49536 KachelY + 1 50249 1.60761187 -1.20082191 92.109375 -68.802027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20078724--1.20082191) × R
    3.46700000000144e-05 × 6371000     		dl = 220.882570000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20078724--1.20082191) × R
    3.46700000000144e-05 × 6371000     		dr = 220.882570000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60751599-1.60761187) × cos(-1.20078724) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361623903817399 × 6371000     		do = 220.898496850091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60751599-1.60761187) × cos(-1.20082191) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36159157992492 × 6371000     		du = 220.878751752531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20078724)-sin(-1.20082191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361623903817399-0.36159157992492)×R²
    abs(1.60761187-1.60751599)×3.23238924789249e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.23238924789249e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.23238924789249e-05×40589641000000     		ar = 48790.4470243001m²