Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49531 / 82881
↖ ↑ ↗
← S 42.942350°
W 43.959046°		 ← 223.58 m → S 42.942350°
W 43.956299°		 →
↑
223.56 m
↓
↑
223.56 m
↓
S 42.944360°
W 43.959046°		 ← 223.58 m →
49 983 m²		 S 42.944360°
W 43.956299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377895355224609 y=0.632335662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377895355224609 × 217)
    floor (0.377895355224609 × 131072)
    floor (49531.5)     		tx = 49531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632335662841797 × 217)
    floor (0.632335662841797 × 131072)
    floor (82881.5)     		ty = 82881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49531 / 82881 ti = "17/49531/82881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49531/82881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49531 ÷ 217
    49531 ÷ 131072     		x = 0.377891540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82881 ÷ 217
    82881 ÷ 131072     		y = 0.632331848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377891540527344 × 2 - 1) × π
    -0.244216918945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.76723008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632331848144531 × 2 - 1) × π
    -0.264663696289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.831465523909874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76723008} λ = -0.76723008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831465523909874))-π/2
    2×atan(0.43541071370256)-π/2
    2×0.410655466491404-π/2
    0.821310932982808-1.57079632675     		φ = -0.74948539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76723008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.959046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74948539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.942350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49531 KachelY 82881 -0.76723008 -0.74948539 -43.959046 -42.942350
    Oben rechts KachelX + 1 49532 KachelY 82881 -0.76718214 -0.74948539 -43.956299 -42.942350
    Unten links KachelX 49531 KachelY + 1 82882 -0.76723008 -0.74952048 -43.959046 -42.944360
    Unten rechts KachelX + 1 49532 KachelY + 1 82882 -0.76718214 -0.74952048 -43.956299 -42.944360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74948539--0.74952048) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dl = 223.558390000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74948539--0.74952048) × R
    3.50900000000154e-05 × 6371000     		dr = 223.558390000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76723008--0.76718214) × cos(-0.74948539) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.73203955009645 × 6371000     		do = 223.583721297847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76723008--0.76718214) × cos(-0.74952048) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.732015644157442 × 6371000     		du = 223.576419808734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74948539)-sin(-0.74952048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73203955009645-0.732015644157442)×R²
    abs(-0.76718214--0.76723008)×2.39059390084728e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39059390084728e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39059390084728e-05×40589641000000     		ar = 49983.2006142373m²