Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49530 / 80570
↖ ↑ ↗
← S 38.121593°
W 43.961792°		 ← 240.28 m → S 38.121593°
W 43.959046°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
S 38.123754°
W 43.961792°		 ← 240.27 m →
57 726 m²		 S 38.123754°
W 43.959046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377887725830078 y=0.614704132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377887725830078 × 217)
    floor (0.377887725830078 × 131072)
    floor (49530.5)     		tx = 49530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614704132080078 × 217)
    floor (0.614704132080078 × 131072)
    floor (80570.5)     		ty = 80570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49530 / 80570 ti = "17/49530/80570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49530/80570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49530 ÷ 217
    49530 ÷ 131072     		x = 0.377883911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80570 ÷ 217
    80570 ÷ 131072     		y = 0.614700317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377883911132812 × 2 - 1) × π
    -0.244232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76727802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614700317382812 × 2 - 1) × π
    -0.229400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.720683348887924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76727802} λ = -0.76727802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720683348887924))-π/2
    2×atan(0.486419747969589)-π/2
    2×0.452724504057266-π/2
    0.905449008114531-1.57079632675     		φ = -0.66534732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76727802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.961792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66534732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.121593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49530 KachelY 80570 -0.76727802 -0.66534732 -43.961792 -38.121593
    Oben rechts KachelX + 1 49531 KachelY 80570 -0.76723008 -0.66534732 -43.959046 -38.121593
    Unten links KachelX 49530 KachelY + 1 80571 -0.76727802 -0.66538503 -43.961792 -38.123754
    Unten rechts KachelX + 1 49531 KachelY + 1 80571 -0.76723008 -0.66538503 -43.959046 -38.123754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66534732--0.66538503) × R
    3.77100000000796e-05 × 6371000     		dl = 240.250410000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66534732--0.66538503) × R
    3.77100000000796e-05 × 6371000     		dr = 240.250410000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76727802--0.76723008) × cos(-0.66534732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786702420691408 × 6371000     		do = 240.279168999307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76727802--0.76723008) × cos(-0.66538503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.786679140526966 × 6371000     		du = 240.272058637855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66534732)-sin(-0.66538503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786702420691408-0.786679140526966)×R²
    abs(-0.76723008--0.76727802)×2.32801644419744e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32801644419744e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32801644419744e-05×40589641000000     		ar = 57726.3147397767m²