Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49524 / 50320
↖ ↑ ↗
← S 68.942607°
E 92.043457°		 ← 219.46 m → S 68.942607°
E 92.048950°		 →
↑
219.48 m
↓
↑
219.48 m
↓
S 68.944580°
E 92.043457°		 ← 219.44 m →
48 165 m²		 S 68.944580°
E 92.048950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755683898925781 y=0.767829895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755683898925781 × 216)
    floor (0.755683898925781 × 65536)
    floor (49524.5)     		tx = 49524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767829895019531 × 216)
    floor (0.767829895019531 × 65536)
    floor (50320.5)     		ty = 50320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49524 / 50320 ti = "16/49524/50320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49524/50320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49524 ÷ 216
    49524 ÷ 65536     		x = 0.75567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50320 ÷ 216
    50320 ÷ 65536     		y = 0.767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75567626953125 × 2 - 1) × π
    0.5113525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60646138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.53564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68277692426245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60646138} λ = 1.60646138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68277692426245))-π/2
    2×atan(0.185857147552358)-π/2
    2×0.183760421464038-π/2
    0.367520842928075-1.57079632675     		φ = -1.20327548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60646138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.043457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20327548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.942607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49524 KachelY 50320 1.60646138 -1.20327548 92.043457 -68.942607
    Oben rechts KachelX + 1 49525 KachelY 50320 1.60655725 -1.20327548 92.048950 -68.942607
    Unten links KachelX 49524 KachelY + 1 50321 1.60646138 -1.20330993 92.043457 -68.944580
    Unten rechts KachelX + 1 49525 KachelY + 1 50321 1.60655725 -1.20330993 92.048950 -68.944580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20327548--1.20330993) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dl = 219.480950000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20327548--1.20330993) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dr = 219.480950000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60646138-1.60655725) × cos(-1.20327548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359302940725674 × 6371000     		do = 219.457841920272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60646138-1.60655725) × cos(-1.20330993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359270791049722 × 6371000     		du = 219.438205291391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20327548)-sin(-1.20330993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359302940725674-0.359270791049722)×R²
    abs(1.60655725-1.60646138)×3.21496759520534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21496759520534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21496759520534e-05×40589641000000     		ar = 48164.6607016839m²