Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49522 / 80623
↖ ↑ ↗
← S 38.236023°
W 43.983765°		 ← 239.90 m → S 38.236023°
W 43.981018°		 →
↑
239.87 m
↓
↑
239.87 m
↓
S 38.238180°
W 43.983765°		 ← 239.90 m →
57 544 m²		 S 38.238180°
W 43.981018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377826690673828 y=0.615108489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377826690673828 × 217)
    floor (0.377826690673828 × 131072)
    floor (49522.5)     		tx = 49522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615108489990234 × 217)
    floor (0.615108489990234 × 131072)
    floor (80623.5)     		ty = 80623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49522 / 80623 ti = "17/49522/80623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49522/80623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49522 ÷ 217
    49522 ÷ 131072     		x = 0.377822875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80623 ÷ 217
    80623 ÷ 131072     		y = 0.615104675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377822875976562 × 2 - 1) × π
    -0.244354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76766151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615104675292969 × 2 - 1) × π
    -0.230209350585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.723224004567787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76766151} λ = -0.76766151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723224004567787))-π/2
    2×atan(0.485185491448453)-π/2
    2×0.45172591804449-π/2
    0.90345183608898-1.57079632675     		φ = -0.66734449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76766151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.983765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66734449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.236023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49522 KachelY 80623 -0.76766151 -0.66734449 -43.983765 -38.236023
    Oben rechts KachelX + 1 49523 KachelY 80623 -0.76761357 -0.66734449 -43.981018 -38.236023
    Unten links KachelX 49522 KachelY + 1 80624 -0.76766151 -0.66738214 -43.983765 -38.238180
    Unten rechts KachelX + 1 49523 KachelY + 1 80624 -0.76761357 -0.66738214 -43.981018 -38.238180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66734449--0.66738214) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dl = 239.868150000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66734449--0.66738214) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dr = 239.868150000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76766151--0.76761357) × cos(-0.66734449) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.785467934792123 × 6371000     		do = 239.902125230554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76766151--0.76761357) × cos(-0.66738214) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.785444632561802 × 6371000     		du = 239.895008129615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66734449)-sin(-0.66738214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785467934792123-0.785444632561802)×R²
    abs(-0.76761357--0.76766151)×2.33022303204322e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.33022303204322e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.33022303204322e-05×40589641000000     		ar = 57544.0253838576m²