Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49522 / 50321
↖ ↑ ↗
← S 68.944580°
E 92.032471°		 ← 219.46 m → S 68.944580°
E 92.037964°		 →
↑
219.42 m
↓
↑
219.42 m
↓
S 68.946554°
E 92.032471°		 ← 219.44 m →
48 151 m²		 S 68.946554°
E 92.037964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755653381347656 y=0.767845153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755653381347656 × 216)
    floor (0.755653381347656 × 65536)
    floor (49522.5)     		tx = 49522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767845153808594 × 216)
    floor (0.767845153808594 × 65536)
    floor (50321.5)     		ty = 50321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49522 / 50321 ti = "16/49522/50321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49522/50321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49522 ÷ 216
    49522 ÷ 65536     		x = 0.755645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50321 ÷ 216
    50321 ÷ 65536     		y = 0.767837524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755645751953125 × 2 - 1) × π
    0.51129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.60626963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767837524414062 × 2 - 1) × π
    -0.535675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68287279806169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60626963} λ = 1.60626963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68287279806169))-π/2
    2×atan(0.185839329575658)-π/2
    2×0.18374319836571-π/2
    0.367486396731421-1.57079632675     		φ = -1.20330993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60626963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.032471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20330993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.944580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49522 KachelY 50321 1.60626963 -1.20330993 92.032471 -68.944580
    Oben rechts KachelX + 1 49523 KachelY 50321 1.60636551 -1.20330993 92.037964 -68.944580
    Unten links KachelX 49522 KachelY + 1 50322 1.60626963 -1.20334437 92.032471 -68.946554
    Unten rechts KachelX + 1 49523 KachelY + 1 50322 1.60636551 -1.20334437 92.037964 -68.946554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20330993--1.20334437) × R
    3.44399999998579e-05 × 6371000     		dl = 219.417239999095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20330993--1.20334437) × R
    3.44399999998579e-05 × 6371000     		dr = 219.417239999095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60626963-1.60636551) × cos(-1.20330993) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.359270791049722 × 6371000     		do = 219.461094433858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60626963-1.60636551) × cos(-1.20334437) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.359238650279844 × 6371000     		du = 219.441461197009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20330993)-sin(-1.20334437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359270791049722-0.359238650279844)×R²
    abs(1.60636551-1.60626963)×3.2140769878064e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.2140769878064e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.2140769878064e-05×40589641000000     		ar = 48151.3936970825m²