Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49521 / 80605
↖ ↑ ↗
← S 38.197180°
W 43.986511°		 ← 240.03 m → S 38.197180°
W 43.983765°		 →
↑
240 m
↓
↑
240 m
↓
S 38.199339°
W 43.986511°		 ← 240.02 m →
57 605 m²		 S 38.199339°
W 43.983765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377819061279297 y=0.614971160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377819061279297 × 217)
    floor (0.377819061279297 × 131072)
    floor (49521.5)     		tx = 49521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614971160888672 × 217)
    floor (0.614971160888672 × 131072)
    floor (80605.5)     		ty = 80605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49521 / 80605 ti = "17/49521/80605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49521/80605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49521 ÷ 217
    49521 ÷ 131072     		x = 0.377815246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80605 ÷ 217
    80605 ÷ 131072     		y = 0.614967346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377815246582031 × 2 - 1) × π
    -0.244369506835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.76770945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614967346191406 × 2 - 1) × π
    -0.229934692382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.722361140374626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76770945} λ = -0.76770945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722361140374626))-π/2
    2×atan(0.485604321306722)-π/2
    2×0.452064884597126-π/2
    0.904129769194253-1.57079632675     		φ = -0.66666656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76770945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.986511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66666656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.197180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49521 KachelY 80605 -0.76770945 -0.66666656 -43.986511 -38.197180
    Oben rechts KachelX + 1 49522 KachelY 80605 -0.76766151 -0.66666656 -43.983765 -38.197180
    Unten links KachelX 49521 KachelY + 1 80606 -0.76770945 -0.66670423 -43.986511 -38.199339
    Unten rechts KachelX + 1 49522 KachelY + 1 80606 -0.76766151 -0.66670423 -43.983765 -38.199339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66666656--0.66670423) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dl = 239.995569999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66666656--0.66670423) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dr = 239.995569999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76770945--0.76766151) × cos(-0.66666656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785887326736389 × 6371000     		do = 240.030218324926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76770945--0.76766151) × cos(-0.66670423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785864032191472 × 6371000     		du = 240.023103571307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66666656)-sin(-0.66670423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785887326736389-0.785864032191472)×R²
    abs(-0.76766151--0.76770945)×2.32945449166744e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32945449166744e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32945449166744e-05×40589641000000     		ar = 57605.335316279m²