Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49520 / 80624
↖ ↑ ↗
← S 38.238180°
W 43.989258°		 ← 239.84 m → S 38.238180°
W 43.986511°		 →
↑
239.87 m
↓
↑
239.87 m
↓
S 38.240337°
W 43.989258°		 ← 239.84 m →
57 530 m²		 S 38.240337°
W 43.986511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377811431884766 y=0.615116119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377811431884766 × 217)
    floor (0.377811431884766 × 131072)
    floor (49520.5)     		tx = 49520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615116119384766 × 217)
    floor (0.615116119384766 × 131072)
    floor (80624.5)     		ty = 80624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49520 / 80624 ti = "17/49520/80624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49520/80624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49520 ÷ 217
    49520 ÷ 131072     		x = 0.3778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80624 ÷ 217
    80624 ÷ 131072     		y = 0.6151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76775738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6151123046875 × 2 - 1) × π
    -0.230224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.723271941467407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76775738} λ = -0.76775738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723271941467407))-π/2
    2×atan(0.485162233717708)-π/2
    2×0.451707091875004-π/2
    0.903414183750008-1.57079632675     		φ = -0.66738214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76775738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66738214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.238180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49520 KachelY 80624 -0.76775738 -0.66738214 -43.989258 -38.238180
    Oben rechts KachelX + 1 49521 KachelY 80624 -0.76770945 -0.66738214 -43.986511 -38.238180
    Unten links KachelX 49520 KachelY + 1 80625 -0.76775738 -0.66741979 -43.989258 -38.240337
    Unten rechts KachelX + 1 49521 KachelY + 1 80625 -0.76770945 -0.66741979 -43.986511 -38.240337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66738214--0.66741979) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dl = 239.868150000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66738214--0.66741979) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dr = 239.868150000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76775738--0.76770945) × cos(-0.66738214) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.785444632561802 × 6371000     		do = 239.844967451823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76775738--0.76770945) × cos(-0.66741979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.785421329218096 × 6371000     		du = 239.837851495483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66738214)-sin(-0.66741979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785444632561802-0.785421329218096)×R²
    abs(-0.76770945--0.76775738)×2.33033437059271e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33033437059271e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33033437059271e-05×40589641000000     		ar = 57530.3151906297m²