Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49520 / 80604
↖ ↑ ↗
← S 38.195021°
W 43.989258°		 ← 239.99 m → S 38.195021°
W 43.986511°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
S 38.197180°
W 43.989258°		 ← 239.98 m →
57 610 m²		 S 38.197180°
W 43.986511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377811431884766 y=0.614963531494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377811431884766 × 217)
    floor (0.377811431884766 × 131072)
    floor (49520.5)     		tx = 49520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614963531494141 × 217)
    floor (0.614963531494141 × 131072)
    floor (80604.5)     		ty = 80604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49520 / 80604 ti = "17/49520/80604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49520/80604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49520 ÷ 217
    49520 ÷ 131072     		x = 0.3778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80604 ÷ 217
    80604 ÷ 131072     		y = 0.614959716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.76775738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.22991943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.722313203475006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76775738} λ = -0.76775738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722313203475006))-π/2
    2×atan(0.485627600230283)-π/2
    2×0.45208372137729-π/2
    0.90416744275458-1.57079632675     		φ = -0.66662888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76775738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.989258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66662888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.195021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49520 KachelY 80604 -0.76775738 -0.66662888 -43.989258 -38.195021
    Oben rechts KachelX + 1 49521 KachelY 80604 -0.76770945 -0.66662888 -43.986511 -38.195021
    Unten links KachelX 49520 KachelY + 1 80605 -0.76775738 -0.66666656 -43.989258 -38.197180
    Unten rechts KachelX + 1 49521 KachelY + 1 80605 -0.76770945 -0.66666656 -43.986511 -38.197180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66662888--0.66666656) × R
    3.76800000000399e-05 × 6371000     		dl = 240.059280000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66662888--0.66666656) × R
    3.76800000000399e-05 × 6371000     		dr = 240.059280000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76775738--0.76770945) × cos(-0.66662888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.78591062634951 × 6371000     		do = 239.987264260805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76775738--0.76770945) × cos(-0.66666656) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.785887326736389 × 6371000     		du = 239.980149443644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66662888)-sin(-0.66666656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78591062634951-0.785887326736389)×R²
    abs(-0.76770945--0.76775738)×2.32996131210861e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32996131210861e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32996131210861e-05×40589641000000     		ar = 57610.315885399m²