Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49520 / 50324
↖ ↑ ↗
← S 68.950500°
E 92.021484°		 ← 219.40 m → S 68.950500°
E 92.026978°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 68.952473°
E 92.021484°		 ← 219.38 m →
48 124 m²		 S 68.952473°
E 92.026978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755622863769531 y=0.767890930175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755622863769531 × 216)
    floor (0.755622863769531 × 65536)
    floor (49520.5)     		tx = 49520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767890930175781 × 216)
    floor (0.767890930175781 × 65536)
    floor (50324.5)     		ty = 50324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49520 / 50324 ti = "16/49520/50324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49520/50324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49520 ÷ 216
    49520 ÷ 65536     		x = 0.755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50324 ÷ 216
    50324 ÷ 65536     		y = 0.76788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60607788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.5357666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68316041945941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60607788} λ = 1.60607788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68316041945941))-π/2
    2×atan(0.185785885894076)-π/2
    2×0.183691538315821-π/2
    0.367383076631641-1.57079632675     		φ = -1.20341325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60607788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20341325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.950500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49520 KachelY 50324 1.60607788 -1.20341325 92.021484 -68.950500
    Oben rechts KachelX + 1 49521 KachelY 50324 1.60617376 -1.20341325 92.026978 -68.950500
    Unten links KachelX 49520 KachelY + 1 50325 1.60607788 -1.20344768 92.021484 -68.952473
    Unten rechts KachelX + 1 49521 KachelY + 1 50325 1.60617376 -1.20344768 92.026978 -68.952473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20341325--1.20344768) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dl = 219.353529999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20341325--1.20344768) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dr = 219.353529999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60607788-1.60617376) × cos(-1.20341325) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.359174367461832 × 6371000     		do = 219.40219394198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60607788-1.60617376) × cos(-1.20344768) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.359142234746603 × 6371000     		du = 219.382565625326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20341325)-sin(-1.20344768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359174367461832-0.359142234746603)×R²
    abs(1.60617376-1.60607788)×3.21327152288942e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.21327152288942e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.21327152288942e-05×40589641000000     		ar = 48124.4929651231m²