Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49520 / 50284
↖ ↑ ↗
← S 68.871439°
E 92.021484°		 ← 220.19 m → S 68.871439°
E 92.026978°		 →
↑
220.12 m
↓
↑
220.12 m
↓
S 68.873419°
E 92.021484°		 ← 220.17 m →
48 465 m²		 S 68.873419°
E 92.026978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755622863769531 y=0.767280578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755622863769531 × 216)
    floor (0.755622863769531 × 65536)
    floor (49520.5)     		tx = 49520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767280578613281 × 216)
    floor (0.767280578613281 × 65536)
    floor (50284.5)     		ty = 50284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49520 / 50284 ti = "16/49520/50284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49520/50284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49520 ÷ 216
    49520 ÷ 65536     		x = 0.755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50284 ÷ 216
    50284 ÷ 65536     		y = 0.76727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    0.51123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60607788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.5345458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67932546748981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60607788} λ = 1.60607788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67932546748981))-π/2
    2×atan(0.186499733754368)-π/2
    2×0.184381480252099-π/2
    0.368762960504198-1.57079632675     		φ = -1.20203337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60607788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20203337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.871439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49520 KachelY 50284 1.60607788 -1.20203337 92.021484 -68.871439
    Oben rechts KachelX + 1 49521 KachelY 50284 1.60617376 -1.20203337 92.026978 -68.871439
    Unten links KachelX 49520 KachelY + 1 50285 1.60607788 -1.20206792 92.021484 -68.873419
    Unten rechts KachelX + 1 49521 KachelY + 1 50285 1.60617376 -1.20206792 92.026978 -68.873419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20203337--1.20206792) × R
    3.45499999998555e-05 × 6371000     		dl = 220.11804999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20203337--1.20206792) × R
    3.45499999998555e-05 × 6371000     		dr = 220.11804999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60607788-1.60617376) × cos(-1.20203337) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360461826365646 × 6371000     		do = 220.188640118814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60607788-1.60617376) × cos(-1.20206792) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.360429598809984 × 6371000     		du = 220.168953868741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20203337)-sin(-1.20206792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360461826365646-0.360429598809984)×R²
    abs(1.60617376-1.60607788)×3.22275556624563e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22275556624563e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22275556624563e-05×40589641000000     		ar = 48465.3274500939m²