Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49519 / 50325
↖ ↑ ↗
← S 68.952473°
E 92.015991°		 ← 219.36 m → S 68.952473°
E 92.021484°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 68.954446°
E 92.015991°		 ← 219.34 m →
48 115 m²		 S 68.954446°
E 92.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755607604980469 y=0.767906188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755607604980469 × 216)
    floor (0.755607604980469 × 65536)
    floor (49519.5)     		tx = 49519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767906188964844 × 216)
    floor (0.767906188964844 × 65536)
    floor (50325.5)     		ty = 50325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49519 / 50325 ti = "16/49519/50325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49519/50325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49519 ÷ 216
    49519 ÷ 65536     		x = 0.755599975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50325 ÷ 216
    50325 ÷ 65536     		y = 0.767898559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755599975585938 × 2 - 1) × π
    0.511199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60598201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767898559570312 × 2 - 1) × π
    -0.535797119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68325629325865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60598201} λ = 1.60598201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68325629325865))-π/2
    2×atan(0.185768074749175)-π/2
    2×0.183674321380497-π/2
    0.367348642760993-1.57079632675     		φ = -1.20344768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60598201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.015991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20344768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.952473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49519 KachelY 50325 1.60598201 -1.20344768 92.015991 -68.952473
    Oben rechts KachelX + 1 49520 KachelY 50325 1.60607788 -1.20344768 92.021484 -68.952473
    Unten links KachelX 49519 KachelY + 1 50326 1.60598201 -1.20348211 92.015991 -68.954446
    Unten rechts KachelX + 1 49520 KachelY + 1 50326 1.60607788 -1.20348211 92.021484 -68.954446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20344768--1.20348211) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dl = 219.353529999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20344768--1.20348211) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dr = 219.353529999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60598201-1.60607788) × cos(-1.20344768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359142234746603 × 6371000     		do = 219.359684673689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60598201-1.60607788) × cos(-1.20348211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359110101605638 × 6371000     		du = 219.340058144176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20344768)-sin(-1.20348211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359142234746603-0.359110101605638)×R²
    abs(1.60607788-1.60598201)×3.21331409650627e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21331409650627e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21331409650627e-05×40589641000000     		ar = 48115.1686031723m²