Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49519 / 50319
↖ ↑ ↗
← S 68.940633°
E 92.015991°		 ← 219.48 m → S 68.940633°
E 92.021484°		 →
↑
219.48 m
↓
↑
219.48 m
↓
S 68.942607°
E 92.015991°		 ← 219.46 m →
48 169 m²		 S 68.942607°
E 92.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755607604980469 y=0.767814636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755607604980469 × 216)
    floor (0.755607604980469 × 65536)
    floor (49519.5)     		tx = 49519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767814636230469 × 216)
    floor (0.767814636230469 × 65536)
    floor (50319.5)     		ty = 50319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49519 / 50319 ti = "16/49519/50319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49519/50319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49519 ÷ 216
    49519 ÷ 65536     		x = 0.755599975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50319 ÷ 216
    50319 ÷ 65536     		y = 0.767807006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755599975585938 × 2 - 1) × π
    0.511199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.60598201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767807006835938 × 2 - 1) × π
    -0.535614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68268105046321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60598201} λ = 1.60598201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68268105046321))-π/2
    2×atan(0.185874967237416)-π/2
    2×0.183777646103409-π/2
    0.367555292206818-1.57079632675     		φ = -1.20324103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60598201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.015991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20324103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.940633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49519 KachelY 50319 1.60598201 -1.20324103 92.015991 -68.940633
    Oben rechts KachelX + 1 49520 KachelY 50319 1.60607788 -1.20324103 92.021484 -68.940633
    Unten links KachelX 49519 KachelY + 1 50320 1.60598201 -1.20327548 92.015991 -68.942607
    Unten rechts KachelX + 1 49520 KachelY + 1 50320 1.60607788 -1.20327548 92.021484 -68.942607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20324103--1.20327548) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dl = 219.480950000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20324103--1.20327548) × R
    3.44500000000192e-05 × 6371000     		dr = 219.480950000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60598201-1.60607788) × cos(-1.20324103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359335089975204 × 6371000     		do = 219.4774782887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60598201-1.60607788) × cos(-1.20327548) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359302940725674 × 6371000     		du = 219.457841920272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20324103)-sin(-1.20327548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359335089975204-0.359302940725674)×R²
    abs(1.60607788-1.60598201)×3.21492495304332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21492495304332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21492495304332e-05×40589641000000     		ar = 48168.9705388687m²