Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49518 / 80730
↖ ↑ ↗
← S 38.466493°
W 43.994751°		 ← 239.14 m → S 38.466493°
W 43.992004°		 →
↑
239.10 m
↓
↑
239.10 m
↓
S 38.468643°
W 43.994751°		 ← 239.13 m →
57 178 m²		 S 38.468643°
W 43.992004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377796173095703 y=0.615924835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377796173095703 × 217)
    floor (0.377796173095703 × 131072)
    floor (49518.5)     		tx = 49518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615924835205078 × 217)
    floor (0.615924835205078 × 131072)
    floor (80730.5)     		ty = 80730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49518 / 80730 ti = "17/49518/80730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49518/80730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49518 ÷ 217
    49518 ÷ 131072     		x = 0.377792358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80730 ÷ 217
    80730 ÷ 131072     		y = 0.615921020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377792358398438 × 2 - 1) × π
    -0.244415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76785326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615921020507812 × 2 - 1) × π
    -0.231842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.728353252827133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76785326} λ = -0.76785326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.728353252827133))-π/2
    2×atan(0.482703226130707)-π/2
    2×0.449714687482154-π/2
    0.899429374964309-1.57079632675     		φ = -0.67136695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76785326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.994751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67136695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.466493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49518 KachelY 80730 -0.76785326 -0.67136695 -43.994751 -38.466493
    Oben rechts KachelX + 1 49519 KachelY 80730 -0.76780532 -0.67136695 -43.992004 -38.466493
    Unten links KachelX 49518 KachelY + 1 80731 -0.76785326 -0.67140448 -43.994751 -38.468643
    Unten rechts KachelX + 1 49519 KachelY + 1 80731 -0.76780532 -0.67140448 -43.992004 -38.468643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67136695--0.67140448) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dl = 239.103629999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67136695--0.67140448) × R
    3.75299999999523e-05 × 6371000     		dr = 239.103629999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76785326--0.76780532) × cos(-0.67136695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.78297207704445 × 6371000     		do = 239.139826030481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76785326--0.76780532) × cos(-0.67140448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.782948730699408 × 6371000     		du = 239.132695455771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67136695)-sin(-0.67140448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78297207704445-0.782948730699408)×R²
    abs(-0.76780532--0.76785326)×2.33463450418636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33463450418636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33463450418636e-05×40589641000000     		ar = 57178.3480149514m²