Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49518 / 80606
↖ ↑ ↗
← S 38.199339°
W 43.994751°		 ← 240.02 m → S 38.199339°
W 43.992004°		 →
↑
240 m
↓
↑
240 m
↓
S 38.201497°
W 43.994751°		 ← 240.02 m →
57 604 m²		 S 38.201497°
W 43.992004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377796173095703 y=0.614978790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377796173095703 × 217)
    floor (0.377796173095703 × 131072)
    floor (49518.5)     		tx = 49518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614978790283203 × 217)
    floor (0.614978790283203 × 131072)
    floor (80606.5)     		ty = 80606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49518 / 80606 ti = "17/49518/80606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49518/80606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49518 ÷ 217
    49518 ÷ 131072     		x = 0.377792358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80606 ÷ 217
    80606 ÷ 131072     		y = 0.614974975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377792358398438 × 2 - 1) × π
    -0.244415283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.76785326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614974975585938 × 2 - 1) × π
    -0.229949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.722409077274246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76785326} λ = -0.76785326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.722409077274246))-π/2
    2×atan(0.485581043499054)-π/2
    2×0.452046048375328-π/2
    0.904092096750656-1.57079632675     		φ = -0.66670423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76785326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.994751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66670423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.199339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49518 KachelY 80606 -0.76785326 -0.66670423 -43.994751 -38.199339
    Oben rechts KachelX + 1 49519 KachelY 80606 -0.76780532 -0.66670423 -43.992004 -38.199339
    Unten links KachelX 49518 KachelY + 1 80607 -0.76785326 -0.66674190 -43.994751 -38.201497
    Unten rechts KachelX + 1 49519 KachelY + 1 80607 -0.76780532 -0.66674190 -43.992004 -38.201497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66670423--0.66674190) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dl = 239.995569999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66670423--0.66674190) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dr = 239.995569999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76785326--0.76780532) × cos(-0.66670423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785864032191472 × 6371000     		do = 240.023103571307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76785326--0.76780532) × cos(-0.66674190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785840736531392 × 6371000     		du = 240.015988477088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66670423)-sin(-0.66674190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785864032191472-0.785840736531392)×R²
    abs(-0.76780532--0.76785326)×2.32956600805245e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32956600805245e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32956600805245e-05×40589641000000     		ar = 57603.6277660872m²