Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49518 / 50327
↖ ↑ ↗
← S 68.956418°
E 92.010498°		 ← 219.32 m → S 68.956418°
E 92.015991°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 68.958391°
E 92.010498°		 ← 219.30 m →
48 107 m²		 S 68.958391°
E 92.015991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755592346191406 y=0.767936706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755592346191406 × 216)
    floor (0.755592346191406 × 65536)
    floor (49518.5)     		tx = 49518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767936706542969 × 216)
    floor (0.767936706542969 × 65536)
    floor (50327.5)     		ty = 50327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49518 / 50327 ti = "16/49518/50327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49518/50327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49518 ÷ 216
    49518 ÷ 65536     		x = 0.755584716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50327 ÷ 216
    50327 ÷ 65536     		y = 0.767929077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755584716796875 × 2 - 1) × π
    0.51116943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.60588614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767929077148438 × 2 - 1) × π
    -0.535858154296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68344804085713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60588614} λ = 1.60588614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68344804085713))-π/2
    2×atan(0.18573245758183)-π/2
    2×0.183639892131103-π/2
    0.367279784262205-1.57079632675     		φ = -1.20351654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60588614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.010498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20351654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.956418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49518 KachelY 50327 1.60588614 -1.20351654 92.010498 -68.956418
    Oben rechts KachelX + 1 49519 KachelY 50327 1.60598201 -1.20351654 92.015991 -68.956418
    Unten links KachelX 49518 KachelY + 1 50328 1.60588614 -1.20355097 92.010498 -68.958391
    Unten rechts KachelX + 1 49519 KachelY + 1 50328 1.60598201 -1.20355097 92.015991 -68.958391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20351654--1.20355097) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dl = 219.353529999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20351654--1.20355097) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dr = 219.353529999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60588614-1.60598201) × cos(-1.20351654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359077968038974 × 6371000     		do = 219.320431354652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60588614-1.60598201) × cos(-1.20355097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.359045834046651 × 6371000     		du = 219.300804305139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20351654)-sin(-1.20355097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359077968038974-0.359045834046651)×R²
    abs(1.60598201-1.60588614)×3.21339923230468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.21339923230468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.21339923230468e-05×40589641000000     		ar = 48106.5581922675m²