Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49515 / 82893
↖ ↑ ↗
← S 42.966472°
W 44.002991°		 ← 223.50 m → S 42.966472°
W 44.000244°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
S 42.968482°
W 44.002991°		 ← 223.49 m →
49 949 m²		 S 42.968482°
W 44.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377773284912109 y=0.632427215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377773284912109 × 217)
    floor (0.377773284912109 × 131072)
    floor (49515.5)     		tx = 49515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632427215576172 × 217)
    floor (0.632427215576172 × 131072)
    floor (82893.5)     		ty = 82893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49515 / 82893 ti = "17/49515/82893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49515/82893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49515 ÷ 217
    49515 ÷ 131072     		x = 0.377769470214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82893 ÷ 217
    82893 ÷ 131072     		y = 0.632423400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377769470214844 × 2 - 1) × π
    -0.244461059570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.76799707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632423400878906 × 2 - 1) × π
    -0.264846801757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.832040766705315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76799707} λ = -0.76799707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832040766705315))-π/2
    2×atan(0.435160318852267)-π/2
    2×0.410444957510783-π/2
    0.820889915021565-1.57079632675     		φ = -0.74990641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76799707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.002991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74990641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.966472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49515 KachelY 82893 -0.76799707 -0.74990641 -44.002991 -42.966472
    Oben rechts KachelX + 1 49516 KachelY 82893 -0.76794913 -0.74990641 -44.000244 -42.966472
    Unten links KachelX 49515 KachelY + 1 82894 -0.76799707 -0.74994149 -44.002991 -42.968482
    Unten rechts KachelX + 1 49516 KachelY + 1 82894 -0.76794913 -0.74994149 -44.000244 -42.968482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74990641--0.74994149) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dl = 223.494679999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74990641--0.74994149) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dr = 223.494679999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76799707--0.76794913) × cos(-0.74990641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731752660240815 × 6371000     		do = 223.496097750873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76799707--0.76794913) × cos(-0.74994149) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731728750305208 × 6371000     		du = 223.488795041097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74990641)-sin(-0.74994149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731752660240815-0.731728750305208)×R²
    abs(-0.76794913--0.76799707)×2.39099356067474e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39099356067474e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39099356067474e-05×40589641000000     		ar = 49949.3727947061m²