Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49515 / 80625
↖ ↑ ↗
← S 38.240337°
W 44.002991°		 ← 239.89 m → S 38.240337°
W 44.000244°		 →
↑
239.87 m
↓
↑
239.87 m
↓
S 38.242494°
W 44.002991°		 ← 239.88 m →
57 541 m²		 S 38.242494°
W 44.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377773284912109 y=0.615123748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377773284912109 × 217)
    floor (0.377773284912109 × 131072)
    floor (49515.5)     		tx = 49515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.615123748779297 × 217)
    floor (0.615123748779297 × 131072)
    floor (80625.5)     		ty = 80625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49515 / 80625 ti = "17/49515/80625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49515/80625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49515 ÷ 217
    49515 ÷ 131072     		x = 0.377769470214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80625 ÷ 217
    80625 ÷ 131072     		y = 0.615119934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377769470214844 × 2 - 1) × π
    -0.244461059570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.76799707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.615119934082031 × 2 - 1) × π
    -0.230239868164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.723319878367027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76799707} λ = -0.76799707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.723319878367027))-π/2
    2×atan(0.485138977101841)-π/2
    2×0.451688266264076-π/2
    0.903376532528151-1.57079632675     		φ = -0.66741979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76799707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.002991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66741979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.240337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49515 KachelY 80625 -0.76799707 -0.66741979 -44.002991 -38.240337
    Oben rechts KachelX + 1 49516 KachelY 80625 -0.76794913 -0.66741979 -44.000244 -38.240337
    Unten links KachelX 49515 KachelY + 1 80626 -0.76799707 -0.66745744 -44.002991 -38.242494
    Unten rechts KachelX + 1 49516 KachelY + 1 80626 -0.76794913 -0.66745744 -44.000244 -38.242494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66741979--0.66745744) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dl = 239.868150000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66741979--0.66745744) × R
    3.76500000000002e-05 × 6371000     		dr = 239.868150000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76799707--0.76794913) × cos(-0.66741979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785421329218096 × 6371000     		do = 239.887890688063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76799707--0.76794913) × cos(-0.66745744) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.785398024761038 × 6371000     		du = 239.880772907021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66741979)-sin(-0.66745744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.785421329218096-0.785398024761038)×R²
    abs(-0.76794913--0.76799707)×2.33044570583374e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33044570583374e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33044570583374e-05×40589641000000     		ar = 57540.6108891019m²