Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49515 / 50220
↖ ↑ ↗
← S 68.744351°
E 91.994019°		 ← 221.43 m → S 68.744351°
E 91.999512°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
S 68.746342°
E 91.994019°		 ← 221.41 m →
49 035 m²		 S 68.746342°
E 91.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755546569824219 y=0.766304016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755546569824219 × 216)
    floor (0.755546569824219 × 65536)
    floor (49515.5)     		tx = 49515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766304016113281 × 216)
    floor (0.766304016113281 × 65536)
    floor (50220.5)     		ty = 50220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49515 / 50220 ti = "16/49515/50220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49515/50220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49515 ÷ 216
    49515 ÷ 65536     		x = 0.755538940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50220 ÷ 216
    50220 ÷ 65536     		y = 0.76629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755538940429688 × 2 - 1) × π
    0.511077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.60559852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.5325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67318954433844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60559852} λ = 1.60559852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67318954433844))-π/2
    2×atan(0.18764759979596)-π/2
    2×0.185490533155461-π/2
    0.370981066310921-1.57079632675     		φ = -1.19981526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60559852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.994019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19981526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.744351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49515 KachelY 50220 1.60559852 -1.19981526 91.994019 -68.744351
    Oben rechts KachelX + 1 49516 KachelY 50220 1.60569439 -1.19981526 91.999512 -68.744351
    Unten links KachelX 49515 KachelY + 1 50221 1.60559852 -1.19985002 91.994019 -68.746342
    Unten rechts KachelX + 1 49516 KachelY + 1 50221 1.60569439 -1.19985002 91.999512 -68.746342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19981526--1.19985002) × R
    3.47599999999115e-05 × 6371000     		dl = 221.455959999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19981526--1.19985002) × R
    3.47599999999115e-05 × 6371000     		dr = 221.455959999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60559852-1.60569439) × cos(-1.19981526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362529933193006 × 6371000     		do = 221.4288494532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60559852-1.60569439) × cos(-1.19985002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362497537622825 × 6371000     		du = 221.409062635132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19981526)-sin(-1.19985002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362529933193006-0.362497537622825)×R²
    abs(1.60569439-1.60559852)×3.23955701806433e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23955701806433e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23955701806433e-05×40589641000000     		ar = 49034.54747788m²