Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49513 / 50217
↖ ↑ ↗
← S 68.738376°
E 91.983032°		 ← 221.49 m → S 68.738376°
E 91.988525°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
S 68.740367°
E 91.983032°		 ← 221.47 m →
49 048 m²		 S 68.740367°
E 91.988525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.755516052246094 y=0.766258239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.755516052246094 × 216)
    floor (0.755516052246094 × 65536)
    floor (49513.5)     		tx = 49513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766258239746094 × 216)
    floor (0.766258239746094 × 65536)
    floor (50217.5)     		ty = 50217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49513 / 50217 ti = "16/49513/50217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49513/50217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49513 ÷ 216
    49513 ÷ 65536     		x = 0.755508422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50217 ÷ 216
    50217 ÷ 65536     		y = 0.766250610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.755508422851562 × 2 - 1) × π
    0.511016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.60540677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766250610351562 × 2 - 1) × π
    -0.532501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67290192294072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.60540677} λ = 1.60540677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67290192294072))-π/2
    2×atan(0.18770157902331)-π/2
    2×0.185542675826594-π/2
    0.371085351653189-1.57079632675     		φ = -1.19971098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.60540677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 91.983032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19971098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.738376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49513 KachelY 50217 1.60540677 -1.19971098 91.983032 -68.738376
    Oben rechts KachelX + 1 49514 KachelY 50217 1.60550264 -1.19971098 91.988525 -68.738376
    Unten links KachelX 49513 KachelY + 1 50218 1.60540677 -1.19974574 91.983032 -68.740367
    Unten rechts KachelX + 1 49514 KachelY + 1 50218 1.60550264 -1.19974574 91.988525 -68.740367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19971098--1.19974574) × R
    3.47599999999115e-05 × 6371000     		dl = 221.455959999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19971098--1.19974574) × R
    3.47599999999115e-05 × 6371000     		dr = 221.455959999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.60540677-1.60550264) × cos(-1.19971098) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362627117275214 × 6371000     		do = 221.488208302052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.60540677-1.60550264) × cos(-1.19974574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362594723019239 × 6371000     		du = 221.468422286684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19971098)-sin(-1.19974574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362627117275214-0.362594723019239)×R²
    abs(1.60550264-1.60540677)×3.2394255974566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.2394255974566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.2394255974566e-05×40589641000000     		ar = 49047.692937209m²