Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49511 / 80537
↖ ↑ ↗
← S 38.050254°
W 44.013977°		 ← 240.51 m → S 38.050254°
W 44.011230°		 →
↑
240.51 m
↓
↑
240.51 m
↓
S 38.052417°
W 44.013977°		 ← 240.51 m →
57 844 m²		 S 38.052417°
W 44.011230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.377742767333984 y=0.614452362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.377742767333984 × 217)
    floor (0.377742767333984 × 131072)
    floor (49511.5)     		tx = 49511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614452362060547 × 217)
    floor (0.614452362060547 × 131072)
    floor (80537.5)     		ty = 80537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49511 / 80537 ti = "17/49511/80537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49511/80537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49511 ÷ 217
    49511 ÷ 131072     		x = 0.377738952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80537 ÷ 217
    80537 ÷ 131072     		y = 0.614448547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.377738952636719 × 2 - 1) × π
    -0.244522094726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.76818882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.614448547363281 × 2 - 1) × π
    -0.228897094726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.719101431200462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76818882} λ = -0.76818882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.719101431200462))-π/2
    2×atan(0.48718983291734)-π/2
    2×0.453347057067727-π/2
    0.906694114135454-1.57079632675     		φ = -0.66410221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76818882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.013977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66410221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.050254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49511 KachelY 80537 -0.76818882 -0.66410221 -44.013977 -38.050254
    Oben rechts KachelX + 1 49512 KachelY 80537 -0.76814088 -0.66410221 -44.011230 -38.050254
    Unten links KachelX 49511 KachelY + 1 80538 -0.76818882 -0.66413996 -44.013977 -38.052417
    Unten rechts KachelX + 1 49512 KachelY + 1 80538 -0.76814088 -0.66413996 -44.011230 -38.052417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66410221--0.66413996) × R
    3.77499999999475e-05 × 6371000     		dl = 240.505249999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66410221--0.66413996) × R
    3.77499999999475e-05 × 6371000     		dr = 240.505249999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76818882--0.76814088) × cos(-0.66410221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787470457434758 × 6371000     		do = 240.513747189992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76818882--0.76814088) × cos(-0.66413996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.787447189570637 × 6371000     		du = 240.506640585374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66410221)-sin(-0.66413996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.787470457434758-0.787447189570637)×R²
    abs(-0.76814088--0.76818882)×2.32678641207684e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32678641207684e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32678641207684e-05×40589641000000     		ar = 57843.9643153594m²